| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | ==Связь периода и бордера== | | ==Связь периода и бордера== |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| − | |statement= Если у строки длины <tex>n</tex> есть [[Основные определения, связанные со строками#border | бордер]] длины <tex>k</tex>, то у нее также имеется [[Основные определения, связанные со строками#period | период]] длины <tex>n - k</tex>. | + | |statement= Если у строки длины <tex>|n|</tex> есть [[Основные определения, связанные со строками#Отношения между строками|бордер]] длины <tex>|k|</tex>, то у нее есть [[Основные определения, связанные со строками#Отношения между строками|период]] длины <tex>|n - k|</tex>. |
| | |proof= | | |proof= |
| | Пусть дана строка <tex>\alpha</tex>. | | Пусть дана строка <tex>\alpha</tex>. |
| − | | + | Напишем формально определения бордера длины <tex>|k|</tex> строки <tex>\alpha</tex>:<br/> |
| − | Напишем формально определение бордера длины <tex>k</tex> строки <tex>\alpha</tex>: | + | <tex>\forall i = 1 \ldots k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + (n - k)]</tex>.<br/> |
| − | | + | Сделаем замену <tex>x = n - k</tex>:<br/> |
| − | : <tex>\forall i = 1 \ldots k: \ \alpha [i] = \alpha[i + (n - k)]</tex>
| + | <tex>\forall i = 1 \ldots n - x</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + x]</tex>. |
| − | Сделаем замену <tex>x = n - k</tex>: | + | Получили определение периода длины <tex>x</tex>. Но <tex>x = n - k</tex>, значит у строки <tex>\alpha</tex> есть период длины <tex>|n - k|</tex>. |
| − | : <tex>\forall i = 1 \ldots n - x: \ \alpha [i] = \alpha[i + x]</tex>
| |
| − | Получили определение периода длины <tex>x</tex>. Но <tex>x = n - k</tex>, значит у строки <tex>\alpha</tex> есть период длины <tex>n - k</tex>. | |
| | }} | | }} |
| | | | |
| | ==Свойства периода== | | ==Свойства периода== |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| − | |author=о кратном периоде
| + | |statement= Если у строки есть [[Основные определения, связанные со строками#Отношения между строками|период]] длины <tex>|k|</tex>, то у нее есть период длины <tex>|kx|</tex>, где <tex> x \in N</tex>. |
| − | |statement= Если у строки есть период длины <tex>k</tex>, то у нее имеется также период длины <tex>kx</tex>, где <tex> x \in N</tex>. | |
| | |proof= | | |proof= |
| − | Пусть длина строки равна <tex>n</tex>, сама строка {{---}} <tex>\alpha</tex>. | + | Пусть длина строки равна <tex>n</tex>, сама строка {{---}} <tex> \alpha </tex>.<br/> |
| − | | + | Доказательство будем вести по индукции по числу <tex>x</tex>.<br/> |
| − | Доказательство будем вести индукцией по числу <tex>x</tex>. | + | Для <tex> x = 1 </tex> утверждение очевидно.<br/> |
| − | | + | Пусть верно для <tex>x = m</tex>. Докажем, что верно для <tex>x = m + 1</tex>.<br/> |
| − | * База
| + | Из определения периода имеем, что<br/> |
| − | *: Для <tex> x = 1 </tex> утверждение очевидно.
| + | для <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + k]</tex>, а из предположения индукции, что<br/> |
| − | * Переход
| + | для <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + mk]</tex><br/> |
| − | *: Пусть верно для <tex>x \leqslant m</tex>. Докажем то же для <tex>x = m + 1</tex>.
| + | Значит получаем, что<br/> |
| − | *: Из определения периода имеем
| + | <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k]</tex>, следовательно<br/> |
| − | *:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k: \ \alpha [i] = \alpha[i + k]</tex>
| + | для <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + (m + 1)k]</tex>.<br/> |
| − | *: а из предположения индукции
| + | Значит у строки есть период длины <tex> |(m + 1)k|</tex>.<br/> |
| − | *:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km: \ \alpha [i] = \alpha[i + mk]</tex>
| |
| − | *: С учётом этого получаем, что
| |
| − | *:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km - k: \ \alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k]</tex>
| |
| − | *: следовательно
| |
| − | *:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k(m + 1): \ \alpha [i] = \alpha[i + k(m + 1)]</tex>
| |
| − | *: Значит у строки есть период длины <tex>k(m + 1)</tex>.
| |
| − | | |
| | Утверждение доказано. | | Утверждение доказано. |
| | }} | | }} |
| − |
| |
| − | Перед доказательством следующей теоремы проверим пару интуитивно понятных утверждений.
| |
| − |
| |
| − | {{Лемма
| |
| − | |about=1
| |
| − | |statement= Пусть строка <tex> s </tex> имеет периоды <tex> p </tex> и <tex> q </tex>, причём <tex> q < p \leqslant |s| </tex>. Тогда суффикс и префикс <tex> s </tex> длины <tex> |s| - q </tex> имеют период <tex> p - q </tex>.
| |
| − | |proof= Покажем истинность утверждения про префикс; с суффиксом доказательство аналогичное.
| |
| − |
| |
| − | Требуется показать: <tex> s_i = s_{i+p-q} \ \ (i = 1 \dots n-p\ , \ n=|s|) </tex>
| |
| − |
| |
| − | Исходя из того, что <tex> s </tex> имеет период <tex> p </tex>, выполнено <tex> s_i = s_{i+p} </tex>
| |
| − | Также <tex> s </tex> имеет период <tex> q </tex> и из ограничений на <tex> i </tex> верно <tex> 1 \leqslant i + p - q \leqslant n - q </tex>, поэтому <tex> s_{i+p-q} = s_{i+p} </tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | {{Лемма
| |
| − | |about=2
| |
| − | |statement= Пусть строка <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, и существует <tex> v </tex> подстрока <tex> w </tex> такая, что <tex> |v| \geqslant q </tex> и <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, где <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex>. Тогда <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
| |
| − | |proof= Пусть <tex> w = s_1 \dots s_n,\ v = s_h \dots s_k </tex>, где <tex> 1 \leqslant h < k \leqslant n </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Требуется показать: <tex> s_i = s_j \ (j = i + r,\ 1 \leqslant i, j \leqslant n) </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Зафиксируем <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Заметим, что поскольку <tex> |v| \geqslant q </tex>, отрезок <tex> [h, k] </tex> содержит по меньшей мере <tex> q </tex> целых чисел, так что найдутся <tex> i',\ j' \in [h, k]: \ \ i \equiv i' \pmod q,\ j \equiv j' \pmod q,\ i \ne j </tex>.
| |
| − |
| |
| − | С учётом <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex> можем написать <tex> i \equiv i' \pmod r,\ j \equiv j' \pmod r </tex> <ref>[[Сравнения,_система_вычетов,_решение_линейных_систем_по_модулю#Свойства сравнений | Свойство сравнений (№8)]]</ref>.
| |
| − |
| |
| − | Помимо того <tex> i \equiv j \pmod r </tex>, а в таком случае верно и <tex> i' \equiv j' \pmod r </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Теперь воспользуемся следующим фактом: если строка <tex> s </tex> имеет период <tex> r </tex>, то <tex> i \equiv j \pmod r \ \Rightarrow\ s_i = s_j </tex> (действительно, без ограничения общности можем сказать, что <tex> i \leqslant j </tex>, и исходя из этого выстроить цепочку равенств <tex> s_i = s_{i + r},\ \ s_{i + r} = s_{i + 2r},\ \ \dots \ , \ s_{j - r} = s_j </tex>).
| |
| − |
| |
| − | В виду того, что <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, имеют место равенства <tex> s_i = s_{i'}\ </tex> и <tex>\ s_j = s_{j'} </tex>. Кроме того <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, потому верно <tex> s_{i'} = s_{j'} </tex>. Тогда и <tex> s_i = s_j </tex>.
| |
| − |
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| | | | |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| − | |statement= Если у строки <tex>w</tex> есть периоды <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, где <tex> |w| \geqslant p + q - \gcd(p, q) </tex>, то <tex>\gcd(p, q)</tex> также является периодом этой строки. | + | |statement= Если у строки есть периоды длины <tex>|p|</tex> и <tex>|q|</tex>, то НОД<tex>(p, q)</tex> также является периодом этой строки. |
| − | |author=Фин и Вильф | + | |proof= |
| − | |proof=Обозначим <tex> r = \gcd(p, q) </tex>. Доказательство будем вести индукцией по <tex> n = (p + q) / r </tex>.
| + | Пусть строка равна <tex> \alpha </tex>, а <tex> p > q </tex>, тогда<br/> |
| − | | + | для <tex>\forall i = 1 \ldots n - p</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + p] = \alpha[i + q]</tex>.<br/> |
| − | В случае <tex> p = q </tex> видим что <tex> n = 2 </tex>, что соответствует базе, в то время как при <tex> p \ne q </tex> выполнено <tex> \max(p, q) > \gcd(p, q) </tex>, так что <tex> n > 2 </tex>.
| + | Значит для <tex>\forall i = q \ldots n - p</tex>, <tex>\alpha [i + q] = \alpha[i + p]</tex><br/> |
| − | * База
| + | Сделаем замену <tex>j = i + q</tex> и получим, что |
| − | *: Истинность утверждения следует из <tex> p = q = r </tex>.
| + | для <tex>\forall j = 1 \ldots n - (p - q)</tex>, <tex>\alpha [j] = \alpha[j + (p - q)]</tex><br/> |
| − | * Переход
| + | Получили новый период длины <tex>|p - q|</tex>. Пусть теперь <tex>p = max(p - q, q)</tex>, а <tex>q = min(p - q, q)</tex>.<br/> |
| − | *: В силу того, что <tex> p \ne q </tex>, без ограничения общности будем считать <tex> q < p </tex> (вообще говоря, исходя из свойств НОД можно дать более строгую оценку: <tex> p - q \geqslant r </tex>, чем мы позже воспользуемся).
| + | Будем повторять алгоритм сначала, пока <tex>p <> q</tex>. |
| − | *: Пусть <tex> w = uv </tex>, где <tex> |u| = q </tex>.
| + | Видно, что представленный алгоритм - это алгоритм Евклида. Значит при его завершении получим, что последний найденный период равен НОД<tex>(p, q)</tex>. |
| − | *: По '''лемме 1''' <tex> v </tex> имеет период <tex> p - q </tex>, также <tex> v </tex> имеет период <tex> q </tex> как подстрока <tex> w </tex>. Теперь рассмотрим длину <tex> v </tex>:
| |
| − | *: <tex> |v| = |w| - q \geqslant (p + q - r) - q \geqslant (p - q) + q - r = (p - q) + q - \gcd(p - q, q) </tex>.
| |
| − | *: Ещё заметим, что для периодов <tex> p - q,\ q </tex> будет меньшее <tex> n </tex>, нежели чем для <tex> p,\ q </tex>, поскольку <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) </tex>. А тогда по предположению индукции заключаем: <tex> v </tex> имеет период <tex> \gcd(p-q, q)</tex>. Учитывая <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) = r </tex>, можем сказать что <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>.
| |
| − | *: Как уже упоминалось, <tex> p - q \geqslant r </tex>, поэтому <tex> |v| \geqslant (p - q) + q - r \geqslant q </tex>, в следствие чего по '''лемме 2''' <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
| |
| | }} | | }} |
| − |
| |
| − | == См. также ==
| |
| − | * [[Основные определения, связанные со строками]]
| |
| − |
| |
| − | == Примечания ==
| |
| − | <references/>
| |
| − |
| |
| − | == Источники информации ==
| |
| − | * [[wikipedia:en:Substring | Wikipedia {{---}} Substring ]]
| |
| − | * ''Lothaire M.'' Algebraic Combinatorics on Words {{---}} Cambridge University Press, 2002. {{---}} с. 272. {{---}} ISBN 0-521-81220-8
| |
| | | | |
| | [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]] | | [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]] |
| | [[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]] | | [[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]] |
