3622
правки
Изменения
Нет описания правки
==Связь периода и бордера==
{{Теорема
|statement= Если у строки длины <tex>n</tex> есть [[Основные определения, связанные со строками#border |бордер]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть также имеется [[Основные определения, связанные со строками#period |период]] длины <tex>(n - k)</tex>.
|proof=
Пусть дана строка <tex>\alpha</tex>. Напишем формально определения определение бордера длины <tex>k</tex> строки <tex>\alpha</tex>:<br/> : <tex>\forall i = 1 \ldots k</tex> <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + (n - k)]</tex>.<br/>Сделаем замену <tex>x = n - k</tex>:<br/>: <tex>\forall i = 1 \ldots n - x</tex> <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + x]</tex>. Получили определение периода длины <tex>x</tex>. Но <tex>x = n - k</tex>, значит у строки <tex>\alpha</tex> есть период длины <tex>(n - k)</tex>.
}}
==Свойства периода==
{{Теорема
|author=о кратном периоде
|statement= Если у строки есть период длины <tex>k</tex>, то у нее имеется также период длины <tex>kx</tex>, где <tex> x \in N</tex>.
|proof=
Пусть длина строки равна <tex>n</tex>, сама строка {{---}} <tex>\alpha</tex>.
Доказательство будем вести индукцией по числу <tex>x</tex>.
* База
*: Для <tex> x = 1 </tex> утверждение очевидно.
* Переход
*: Пусть верно для <tex>x \leqslant m</tex>. Докажем то же для <tex>x = m + 1</tex>.
*: Из определения периода имеем
*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k: \ \alpha [i] = \alpha[i + k]</tex>
*: а из предположения индукции
*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km: \ \alpha [i] = \alpha[i + mk]</tex>
*: С учётом этого получаем, что
*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km - k: \ \alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k]</tex>
*: следовательно
*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k(m + 1): \ \alpha [i] = \alpha[i + k(m + 1)]</tex>
*: Значит у строки есть период длины <tex>k(m + 1)</tex>.
Утверждение доказано.
}}
Перед доказательством следующей теоремы проверим пару интуитивно понятных утверждений.
{{Лемма
|about=1
|statement= Пусть строка <tex> s </tex> имеет периоды <tex> p </tex> и <tex> q </tex>, причём <tex> q < p \leqslant |s| </tex>. Тогда суффикс и префикс <tex> s </tex> длины <tex> |s| - q </tex> имеют период <tex> p - q </tex>.
|proof= Покажем истинность утверждения про префикс; с суффиксом доказательство аналогичное.
Требуется показать: <tex> s_i = s_{i+p-q} \ \ (i = 1 \dots n-p\ , \ n=|s|) </tex>
Исходя из того, что <tex> s </tex> имеет период <tex> p </tex>, выполнено <tex> s_i = s_{i+p} </tex>
Также <tex> s </tex> имеет период <tex> q </tex> и из ограничений на <tex> i </tex> верно <tex> 1 \leqslant i + p - q \leqslant n - q </tex>, поэтому <tex> s_{i+p-q} = s_{i+p} </tex>
}}
{{Лемма
|about=2
|statement= Пусть строка <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, и существует <tex> v </tex> подстрока <tex> w </tex> такая, что <tex> |v| \geqslant q </tex> и <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, где <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex>. Тогда <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
|proof= Пусть <tex> w = s_1 \dots s_n,\ v = s_h \dots s_k </tex>, где <tex> 1 \leqslant h < k \leqslant n </tex>.
Требуется показать: <tex> s_i = s_j \ (j = i + r,\ 1 \leqslant i, j \leqslant n) </tex>.
Зафиксируем <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Заметим, что поскольку <tex> |v| \geqslant q </tex>, отрезок <tex> [h, k] </tex> содержит по меньшей мере <tex> q </tex> целых чисел, так что найдутся <tex> i',\ j' \in [h, k]: \ \ i \equiv i' \pmod q,\ j \equiv j' \pmod q,\ i \ne j </tex>.
С учётом <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex> можем написать <tex> i \equiv i' \pmod r,\ j \equiv j' \pmod r </tex> <ref>[[Сравнения,_система_вычетов,_решение_линейных_систем_по_модулю#Свойства сравнений | Свойство сравнений (№8)]]</ref>.
Помимо того <tex> i \equiv j \pmod r </tex>, а в таком случае верно и <tex> i' \equiv j' \pmod r </tex>.
Теперь воспользуемся следующим фактом: если строка <tex> s </tex> имеет период <tex> r </tex>, то <tex> i \equiv j \pmod r \ \Rightarrow\ s_i = s_j </tex> (действительно, без ограничения общности можем сказать, что <tex> i \leqslant j </tex>, и исходя из этого выстроить цепочку равенств <tex> s_i = s_{i + r},\ \ s_{i + r} = s_{i + 2r},\ \ \dots \ , \ s_{j - r} = s_j </tex>).
В виду того, что <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, имеют место равенства <tex> s_i = s_{i'}\ </tex> и <tex>\ s_j = s_{j'} </tex>. Кроме того <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, потому верно <tex> s_{i'} = s_{j'} </tex>. Тогда и <tex> s_i = s_j </tex>.
}}
{{Теорема
|statement= Если у строки <tex>w</tex> есть периоды <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, где <tex> |w| \geqslant p + q - \gcd(p, q) </tex>, то <tex>\gcd(p, q)</tex> также является периодом этой строки.
|author=Фин и Вильф
|proof=Обозначим <tex> r = \gcd(p, q) </tex>. Доказательство будем вести индукцией по <tex> n = (p + q) / r </tex>.
В случае <tex> p = q </tex> видим что <tex> n = 2 </tex>, что соответствует базе, в то время как при <tex> p \ne q </tex> выполнено <tex> \max(p, q) > \gcd(p, q) </tex>, так что <tex> n > 2 </tex>.
* База
*: Истинность утверждения следует из <tex> p = q = r </tex>.
* Переход
*: В силу того, что <tex> p \ne q </tex>, без ограничения общности будем считать <tex> q < p </tex> (вообще говоря, исходя из свойств НОД можно дать более строгую оценку: <tex> p - q \geqslant r </tex>, чем мы позже воспользуемся).
*: Пусть <tex> w = uv </tex>, где <tex> |u| = q </tex>.
*: По '''лемме 1''' <tex> v </tex> имеет период <tex> p - q </tex>, также <tex> v </tex> имеет период <tex> q </tex> как подстрока <tex> w </tex>. Теперь рассмотрим длину <tex> v </tex>:
*: <tex> |v| = |w| - q \geqslant (p + q - r) - q \geqslant (p - q) + q - r = (p - q) + q - \gcd(p - q, q) </tex>.
*: Ещё заметим, что для периодов <tex> p - q,\ q </tex> будет меньшее <tex> n </tex>, нежели чем для <tex> p,\ q </tex>, поскольку <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) </tex>. А тогда по предположению индукции заключаем: <tex> v </tex> имеет период <tex> \gcd(p-q, q)</tex>. Учитывая <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) = r </tex>, можем сказать что <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>.
*: Как уже упоминалось, <tex> p - q \geqslant r </tex>, поэтому <tex> |v| \geqslant (p - q) + q - r \geqslant q </tex>, в следствие чего по '''лемме 2''' <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
}}
== См. также ==
* [[Основные определения, связанные со строками]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
* [[wikipedia:en:Substring | Wikipedia {{---}} Substring ]]
* ''Lothaire M.'' Algebraic Combinatorics on Words {{---}} Cambridge University Press, 2002. {{---}} с. 272. {{---}} ISBN 0-521-81220-8
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
