3622
правки
Изменения
Нет описания правки
==Связь периода и бордера==
{{Теорема
|statement= Если у строки длины <tex>n</tex> есть [[Основные определения, связанные со строками#border |бордер]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть также имеется [[Основные определения, связанные со строками#period |период]] длины <tex>(n - k)</tex>.
|proof=
Пусть дана строка <tex>\alpha</tex>. Напишем формально определения определение бордера длины <tex>k</tex> строки <tex>\alpha</tex>:<br/> : <tex>\forall i = 1 \ldots k</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + (n - k)]</tex>.<br/>Сделаем замену <tex>x = n - k</tex>:<br/>: <tex>\forall i = 1 \ldots n - x</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + x]</tex>. Получили определение периода длины <tex>x</tex>. Но <tex>x = n - k</tex>, значит у строки <tex>\alpha</tex> есть период длины <tex>(n - k)</tex>.
}}
==Свойства периода==
{{Теорема
|author=о кратном периоде|statement= Если у строки есть [[Основные определения, связанные со строками|период]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть имеется также период длины <tex>(k * x)kx</tex>, где <tex> x \in N</tex>.
|proof=
Пусть Длина длина строки равна <tex>n</tex>. Тогда из определения периода имеем, чтосама строка {{---}} <tex>\alpha<br/tex>. Доказательство будем вести индукцией по числу <tex>\forall i = 1 \ldots n - kx</tex>, . * База*: Для <tex>\alpha [i] x = \alpha[i + k]1 </tex>утверждение очевидно.<br/>Это вернео * Переход*: Пусть верно для всех таких <tex>ix \leqslant m</tex>, значит получаем <br/>. Докажем то же для <tex>\alpha [i] x = \alpha[i m + k]1</tex>.<br/>*: Из определения периода имеем*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k: \ \alpha [i + k] = \alpha[i + 2* k]</tex>.<br/>*: а из предположения индукции*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km: \ \alpha [i + 2 * k] = \alpha[i + 3 * kmk]</tex>.<br/>*: С учётом этого получаем, что*:: <tex> \forall i = 1 \ldots </tex><br/><tex>n - km - k: \ \alpha [i] = \alpha [i + (x - 1) * kmk] = \alpha[i + x * mk + k]</tex>.<br/>Следовательно для *: следовательно*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - x * k</tex>, <tex>(m + 1): \ \alpha [i] = \alpha[i + x *k(m + 1)]</tex>.<br/>*: Значит у строки есть период длины <tex>k(k * xm + 1)</tex>. Утверждение доказано.
}}
Перед доказательством следующей теоремы проверим пару интуитивно понятных утверждений.
{{Лемма
|about=1
|statement= Пусть строка <tex> s </tex> имеет периоды <tex> p </tex> и <tex> q </tex>, причём <tex> q < p \leqslant |s| </tex>. Тогда суффикс и префикс <tex> s </tex> длины <tex> |s| - q </tex> имеют период <tex> p - q </tex>.
|proof= Покажем истинность утверждения про префикс; с суффиксом доказательство аналогичное.
Требуется показать: <tex> s_i = s_{i+p-q} \ \ (i = 1 \dots n-p\ , \ n=|s|) </tex>
Исходя из того, что <tex> s </tex> имеет период <tex> p </tex>, выполнено <tex> s_i = s_{i+p} </tex>
Также <tex> s </tex> имеет период <tex> q </tex> и из ограничений на <tex> i </tex> верно <tex> 1 \leqslant i + p - q \leqslant n - q </tex>, поэтому <tex> s_{i+p-q} = s_{i+p} </tex>
}}
{{Лемма
|about=2
|statement= Пусть строка <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, и существует <tex> v </tex> подстрока <tex> w </tex> такая, что <tex> |v| \geqslant q </tex> и <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, где <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex>. Тогда <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
|proof= Пусть <tex> w = s_1 \dots s_n,\ v = s_h \dots s_k </tex>, где <tex> 1 \leqslant h < k \leqslant n </tex>.
Требуется показать: <tex> s_i = s_j \ (j = i + r,\ 1 \leqslant i, j \leqslant n) </tex>.
Зафиксируем <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Заметим, что поскольку <tex> |v| \geqslant q </tex>, отрезок <tex> [h, k] </tex> содержит по меньшей мере <tex> q </tex> целых чисел, так что найдутся <tex> i',\ j' \in [h, k]: \ \ i \equiv i' \pmod q,\ j \equiv j' \pmod q,\ i \ne j </tex>.
С учётом <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex> можем написать <tex> i \equiv i' \pmod r,\ j \equiv j' \pmod r </tex> <ref>[[Сравнения,_система_вычетов,_решение_линейных_систем_по_модулю#Свойства сравнений | Свойство сравнений (№8)]]</ref>.
Помимо того <tex> i \equiv j \pmod r </tex>, а в таком случае верно и <tex> i' \equiv j' \pmod r </tex>.
Теперь воспользуемся следующим фактом: если строка <tex> s </tex> имеет период <tex> r </tex>, то <tex> i \equiv j \pmod r \ \Rightarrow\ s_i = s_j </tex> (действительно, без ограничения общности можем сказать, что <tex> i \leqslant j </tex>, и исходя из этого выстроить цепочку равенств <tex> s_i = s_{i + r},\ \ s_{i + r} = s_{i + 2r},\ \ \dots \ , \ s_{j - r} = s_j </tex>).
В виду того, что <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, имеют место равенства <tex> s_i = s_{i'}\ </tex> и <tex>\ s_j = s_{j'} </tex>. Кроме того <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, потому верно <tex> s_{i'} = s_{j'} </tex>. Тогда и <tex> s_i = s_j </tex>.
}}
{{Теорема
|statement= Если у строки <tex>w</tex> есть периоды длины <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, где <tex> |w| \geqslant p + q - \gcd(p, q) </tex>, то НОД<tex>\gcd(p, q)</tex> также является периодом этой строки.|author=Фин и Вильф|proof=Пусть Обозначим <tex> r = \gcd(p > , q ) </tex>, тогда. Доказательство будем вести индукцией по <tex> n = (p + q) / r <br/tex> . для В случае <tex>\forall i p = 1 \ldots q </tex> видим что <tex> n - q= 2 </tex>, что соответствует базе, в то время как при <tex>p \alpha [i] = ne q </tex> выполнено <tex> \alpha[i + max(p] = , q) > \alpha[i + gcd(p, q]) </tex>, так что <tex> n > 2 </tex>.* База*: Истинность утверждения следует из <tex> p = q = r <br/tex>.* ПереходЗначит для *: В силу того, что <tex>p \forall i = 1 \ldots n - ne q </tex>, без ограничения общности будем считать <tex> q < p </tex> (вообще говоря, исходя из свойств НОД можно дать более строгую оценку: <tex> p - q\geqslant r </tex>, чем мы позже воспользуемся).*: Пусть <tex> w = uv </tex>, где <tex>\alpha [i] |u| = \alpha[i + (q </tex>. *: По '''лемме 1''' <tex> v </tex> имеет период <tex> p - q)]</tex>, также <tex> v <br/tex>Теперь следуя алгоритму Евклида, если имеет период <tex> q </tex> как подстрока <tex> w </tex>. Теперь рассмотрим длину <tex>= p - q v </tex> получим : *: <tex>\alpha [i] |v| = |w| - q \alpha[i geqslant (p + q - r) - q \geqslant (p - q) + q - r = (p - q)+ q - \gcd(p - q, q)]</tex>.*: Ещё заметим, что для периодов <tex> p - q,\ q </tex> будет меньшее <tex> n <br/tex>иначе , нежели чем для <tex>p,\alpha [i] = q </tex>, поскольку <tex> \alpha[i + gcd(p - q, q) - = \gcd(p, q]) </tex>.А тогда по предположению индукции заключаем: <tex> v <br/tex> имеет период <tex>Будем выполнять такие действия\gcd(p-q, пока не получим НОДq)</tex>. Учитывая <tex>\gcd(p-q, q) = \gcd(p, q)= r </tex>, можем сказать что <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>. Это будет выполнятся для *: Как уже упоминалось, <tex>p - q \forall i geqslant r </tex>. Следовательно будет период длины НОД, поэтому <tex>|v| \geqslant (p, - q)+ q - r \geqslant q </tex>, в следствие чего по '''лемме 2''' <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
}}
== См. также ==
* [[Основные определения, связанные со строками]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
* [[wikipedia:en:Substring | Wikipedia {{---}} Substring ]]
* ''Lothaire M.'' Algebraic Combinatorics on Words {{---}} Cambridge University Press, 2002. {{---}} с. 272. {{---}} ISBN 0-521-81220-8
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
