3622
правки
Изменения
Нет описания правки
==Связь периода и бордера==
{{Теорема
|statement= Если у строки длины <tex>n</tex> есть [[Основные определения, связанные со строками#border |бордер]] длины <tex>|k|</tex>, то у нее есть также имеется [[Основные определения, связанные со строками#period |период]] длины <tex>|n - k|</tex>.
|proof=
Пусть дана строка <tex>\alpha</tex>. Напишем формально определения определение бордера длины <tex>k</tex> строки <tex>\alpha</tex>:<br/> : <tex>\forall i = 1 \ldots k</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + (n - k)]</tex>.<br/>Сделаем замену <tex>x = n - k</tex>:<br/>: <tex>\forall i = 1 \ldots n - x</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + x]</tex>. Получили определение периода длины <tex>x</tex>. Но <tex>x = n - k</tex>, значит у строки <tex>\alpha</tex> есть период длины <tex>(n - k)</tex>.
}}
==Свойства периода==
{{Теорема
|author=о кратном периоде|statement= Если у строки есть [[Основные определения, связанные со строками|период]] длины <tex>|k|</tex>, то у нее есть имеется также период длины <tex>|k \cdot x|kx</tex>, где <tex> x \in N</tex>.
|proof=
Пусть длина строки равна <tex>n</tex>., сама строка {{---}} <tex>\alpha<br/tex>. Доказательство будем вести по индукции индукцией по числу <tex>x</tex>.<br/> * База*: Для <tex> x = 1 </tex> утверждение очевидно.<br/>* Переход*: Пусть верно для <tex>x = \leqslant m</tex>. Докажем, что верно то же для <tex>x = m + 1</tex>.<br/>*: Из определения периода имеем, что<br/>для *:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + k]</tex>, *: а из предположения индукции, что<br/>для *:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>km: \ \alpha [i] = \alpha[i + m \cdot kmk]</tex><br/>Значит *: С учётом этого получаем, что<br/>*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km - k</tex> <tex>: \ \alpha [i] = \alpha [i + m \cdot kmk] = \alpha[i + m \cdot k mk + k]</tex>, *: следовательно<br/>для *:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>(m + 1): \ \alpha [i] = \alpha[i + k(m + 1) \cdot k]</tex>.<br/>*: Значит у строки есть период длины <tex> |k(m + 1) \cdot k|</tex>.<br/>
Утверждение доказано.
}}
Перед доказательством следующей теоремы проверим пару интуитивно понятных утверждений.
{{Лемма
|about=1
|statement= Пусть строка <tex> s </tex> имеет периоды <tex> p </tex> и <tex> q </tex>, причём <tex> q < p \leqslant |s| </tex>. Тогда суффикс и префикс <tex> s </tex> длины <tex> |s| - q </tex> имеют период <tex> p - q </tex>.
|proof= Покажем истинность утверждения про префикс; с суффиксом доказательство аналогичное.
Требуется показать: <tex> s_i = s_{i+p-q} \ \ (i = 1 \dots n-p\ , \ n=|s|) </tex>
Исходя из того, что <tex> s </tex> имеет период <tex> p </tex>, выполнено <tex> s_i = s_{i+p} </tex>
Также <tex> s </tex> имеет период <tex> q </tex> и из ограничений на <tex> i </tex> верно <tex> 1 \leqslant i + p - q \leqslant n - q </tex>, поэтому <tex> s_{i+p-q} = s_{i+p} </tex>
}}
{{Лемма
|about=2
|statement= Пусть строка <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, и существует <tex> v </tex> подстрока <tex> w </tex> такая, что <tex> |v| \geqslant q </tex> и <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, где <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex>. Тогда <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
|proof= Пусть <tex> w = s_1 \dots s_n,\ v = s_h \dots s_k </tex>, где <tex> 1 \leqslant h < k \leqslant n </tex>.
Требуется показать: <tex> s_i = s_j \ (j = i + r,\ 1 \leqslant i, j \leqslant n) </tex>.
Зафиксируем <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Заметим, что поскольку <tex> |v| \geqslant q </tex>, отрезок <tex> [h, k] </tex> содержит по меньшей мере <tex> q </tex> целых чисел, так что найдутся <tex> i',\ j' \in [h, k]: \ \ i \equiv i' \pmod q,\ j \equiv j' \pmod q,\ i \ne j </tex>.
С учётом <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex> можем написать <tex> i \equiv i' \pmod r,\ j \equiv j' \pmod r </tex> <ref>[[Сравнения,_система_вычетов,_решение_линейных_систем_по_модулю#Свойства сравнений | Свойство сравнений (№8)]]</ref>.
Помимо того <tex> i \equiv j \pmod r </tex>, а в таком случае верно и <tex> i' \equiv j' \pmod r </tex>.
Теперь воспользуемся следующим фактом: если строка <tex> s </tex> имеет период <tex> r </tex>, то <tex> i \equiv j \pmod r \ \Rightarrow\ s_i = s_j </tex> (действительно, без ограничения общности можем сказать, что <tex> i \leqslant j </tex>, и исходя из этого выстроить цепочку равенств <tex> s_i = s_{i + r},\ \ s_{i + r} = s_{i + 2r},\ \ \dots \ , \ s_{j - r} = s_j </tex>).
В виду того, что <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, имеют место равенства <tex> s_i = s_{i'}\ </tex> и <tex>\ s_j = s_{j'} </tex>. Кроме того <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, потому верно <tex> s_{i'} = s_{j'} </tex>. Тогда и <tex> s_i = s_j </tex>.
}}
{{Теорема
|statement= Если у строки <tex>w</tex> есть периоды длины <tex>|p|</tex> и <tex>q</tex>, где <tex> |w|\geqslant p + q|- \gcd(p, q) </tex>, то НОД<tex>\gcd(p, q)</tex> также является периодом этой строки.|author=Фин и Вильф|proof=Пусть Обозначим <tex> r = \gcd(p > , q ) </tex>, тогда. Доказательство будем вести индукцией по <tex> n = (p + q) / r <br/tex> .для В случае <tex>\forall i p = 1 \ldots q </tex> видим что <tex> n - p= 2 </tex>, что соответствует базе, в то время как при <tex>p \alpha [i] = ne q </tex> выполнено <tex> \alpha[i + max(p] = , q) > \alpha[i + gcd(p, q]) </tex>, так что <tex> n > 2 </tex>.* База*: Истинность утверждения следует из <tex> p = q = r <br/tex>.Значит для * Переход*: В силу того, что <tex>p \forall i = ne q </tex>, без ограничения общности будем считать <tex> q \ldots n - < p</tex>(вообще говоря, исходя из свойств НОД можно дать более строгую оценку: <tex>p - q \alpha [i + q] geqslant r </tex>, чем мы позже воспользуемся).*: Пусть <tex> w = \alpha[i + p]uv </tex>, где <tex> |u| = q <br/tex>. Сделаем замену *: По '''лемме 1''' <tex> v </tex> имеет период <tex>j = i + p - q</tex> и получим, чтотакже <tex> v </tex> имеет период <tex> q </tex> как подстрока <tex> w </tex>. Теперь рассмотрим длину <tex> v </tex>: для *: <tex>|v| = |w| - q \geqslant (p + q - r) - q \forall j geqslant (p - q) + q - r = 1 (p - q) + q - \ldots n - gcd(p - q, q)</tex>.*: Ещё заметим, что для периодов <tex>\alpha [j] = \alpha[j + (p - q)],\ q </tex>будет меньшее <tex> n <br/tex>Получили новый период длины , нежели чем для <tex>|p - ,\ q|</tex>. Пусть теперь , поскольку <tex>\gcd(p -q, q) = max\gcd(p - q, q)</tex>, а . А тогда по предположению индукции заключаем: <tex> v </tex> имеет период <tex>q = min\gcd(p - q, q)</tex>.Учитывая <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) = r <br/tex>Будем повторять алгоритм сначала, пока можем сказать что <tex>p v </tex> имеет период <tex> qr </tex>.Видно*: Как уже упоминалось, что представленный алгоритм <tex> p - это алгоритм Евклида. Значит при его завершении получимq \geqslant r </tex>, что последний найденный период равен НОДпоэтому <tex>|v| \geqslant (p, - q)+ q - r \geqslant q </tex>, в следствие чего по '''лемме 2''' <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.
}}
== См. также ==
* [[Основные определения, связанные со строками]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
* [[wikipedia:en:Substring | Wikipedia {{---}} Substring ]]
* ''Lothaire M.'' Algebraic Combinatorics on Words {{---}} Cambridge University Press, 2002. {{---}} с. 272. {{---}} ISBN 0-521-81220-8
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
