Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Период и бордер, их связь

39 байт добавлено, 21:39, 15 февраля 2015
Нет описания правки
==Определения==
{{Определение
|definition =
Строка <tex>\alpha</tex> называется '''бордером''' строки <tex>\beta</tex>, если <tex>\alpha</tex> одновременно является и [[Основные определения, связанные со строками#Отношения между строками|суффиксом]], и [[Основные определения, связанные со строками#Отношения между строками|префиксом]] <tex>\beta</tex>.
|id=border
}}
 
{{Определение
|definition =
Число <tex>p</tex> называется '''периодом''' строки <tex>\alpha</tex>, если <tex>\forall i = 1 \ldots n - p</tex> <tex>\alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>.
|id=border
}}
 
==Связь периода и бордера==
{{Теорема
|statement= Если у строки длины <tex>n</tex> есть [[Период_и_бордерОсновные определения,_их_связьсвязанные со строками#Определенияborder |бордер]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть также имеется [[Период_и_бордерОсновные определения,_их_связьсвязанные со строками#Определенияperiod |период]] длины <tex>n - k</tex>.
|proof=
Пусть дана строка <tex>\alpha</tex>.
Напишем формально определения определение бордера длины <tex>k</tex> строки <tex>\alpha</tex>:
: <tex>\forall i = 1 \ldots k</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + (n - k)]</tex>.
Сделаем замену <tex>x = n - k</tex>:
: <tex>\forall i = 1 \ldots n - x</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + x]</tex>.
Получили определение периода длины <tex>x</tex>. Но <tex>x = n - k</tex>, значит у строки <tex>\alpha</tex> есть период длины <tex>n - k</tex>.
}}
==Свойства периода==
==Теорема о кратном периоде==
{{Теорема
|author=о кратном периоде|statement= Если у строки есть [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|период]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть имеется также период длины <tex>kx</tex>, где <tex> x \in N</tex>.
|proof=
Пусть длина строки равна <tex>n</tex>, сама строка {{---}} <tex>\alpha</tex>.
*: Для <tex> x = 1 </tex> утверждение очевидно.
* Переход
*: Пусть верно для <tex>x \leqslant m</tex>. Докажем, что верно то же для <tex>x = m + 1</tex>.
*: Из определения периода имеем
*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + k]</tex>,
*: а из предположения индукции
*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + mk]</tex>.*: Значит С учётом этого получаем, что*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - km - k</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k]</tex>,
*: следовательно
*:: <tex>\forall i = 1 \ldots n - k(m + 1)</tex>, <tex>: \ \alpha [i] = \alpha[i + k(m + 1)]</tex>.
*: Значит у строки есть период длины <tex>k(m + 1)</tex>.
}}
==Теорема о НОД периодов==Перед доказательством следующей теоремы докажем проверим пару интуитивно понятных утверждений.
{{Лемма
|about=1
|statement= Пусть строка <tex> s </tex> имеет периоды <tex> p </tex> и <tex> q </tex>, причём <tex> q < p < q \leqslant |s| </tex>. Тогда суффикс и префикс <tex> s </tex> длины <tex> |s| - q </tex> имеют период <tex> p - q </tex>.
|proof= Покажем истинность утверждения про префикс; с суффиксом доказательство аналогичное.
Требуется показать что : <tex> s_i = s_{i+p-q} \ \ (i = 1,\dots,n-p\ , \ n=|s|) </tex>
Поскольку Исходя из того, что <tex> s </tex> имеет период <tex> p </tex>, выполнено <tex> s_i = s_{i+p} </tex>
Также <tex> s </tex> имеет период <tex> q </tex> и из ограничений на <tex> i </tex> верно <tex> 1 \leqslant i + p - q \leqslant n - q </tex>, поэтому <tex> s_{i+p-q} = s_{i+p} </tex>
}}
Требуется показать: <tex> s_i = s_j \ (j = i + r,\ 1 \leqslant i, j \leqslant n) </tex>.
Зафиксируем <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Заметим, что поскольку <tex> |v| \geqslant q </tex>, то отрезок <tex> [h, k] </tex> содержит ровно по меньшей мере <tex> q </tex> целых чисел, так что найдутся <tex> i',\ j' \in [h, k] </tex> такие, что <tex> : \ \ i \equiv i' \pmod q,\ j \equiv j' \pmod q ,\ i \ne j </tex>.
Так как С учётом <tex> q </tex> <tex dpi=90>\,\vdots\, </tex> <tex> r </tex>, можем написать <tex> i \equiv i' \pmod r,\ j \equiv j' \pmod r </tex> <ref>[[Сравнения,_система_вычетов,_решение_линейных_систем_по_модулю#Свойства сравнений | Свойства Свойство сравнений(№8)]]</ref>.
Помимо того <tex> i \equiv j \pmod r </tex>, тогда а в таком случае верно и <tex> i' \equiv j' \pmod r </tex>.
Теперь воспользуемся тем следующим фактом, что : если строка <tex> s </tex> имеет период <tex> r </tex>, то <tex> i \equiv j \pmod r \ \Rightarrow\ s_i = s_j </tex> (действительно, без ограничения общности можем сказать, что <tex> i \leqslant j </tex>, тогда и исходя из этого выстроить цепочку равенств <tex> s_i = s_{i + r},\ \ s_{i + r} = s_{i + 2r},\ \ \dots \ , \ s_{j - r} = s_j </tex>).
Поскольку В виду того, что <tex> w </tex> имеет период <tex> q </tex>, имеют место равенства <tex> s_i = s_{i'}\ </tex> и <tex>\ s_j = s_{j'} </tex>. Поскольку Кроме того <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>, потому верно <tex> s_{i'} = s_{j'} </tex>. Тогда и <tex> s_i = s_j </tex>.
}}
|author=Фин и Вильф
|proof=Обозначим <tex> r = \gcd(p, q) </tex>. Доказательство будем вести индукцией по <tex> n = (p + q) / r </tex>.
 
В случае <tex> p = q </tex> видим что <tex> n = 2 </tex>, что соответствует базе, в то время как при <tex> p \ne q </tex> выполнено <tex> \max(p, q) > \gcd(p, q) </tex>, так что <tex> n > 2 </tex>.
* База
*: При <tex> n = 2 </tex> видно, что Истинность утверждения следует из <tex> p = q = r </tex> и потому утверждение истинно.
* Переход
*: Заметим В силу того, что теперь <tex> q p \ne p q </tex> (так как , без ограничения общности будем считать <tex> n > 2 q < p </tex>)(вообще говоря, поэтому без ограничения общности можем сказать, что исходя из свойств НОД можно дать более строгую оценку: <tex> p - q < p \geqslant r </tex>, чем мы позже воспользуемся).
*: Пусть <tex> w = uv </tex>, где <tex> |u| = q </tex>.
*: По '''лемме 1''' <tex> v </tex> имеет период <tex> p - q </tex>, также <tex> v </tex> имеет период <tex> q </tex> как подстрока <tex> w </tex>. Теперь рассмотрим длину <tex> v </tex>:
*: <tex> |v| = |w| - q \geqslant (p + q - r) - q \geqslant (p - q) + q - r = (p - q) + q - \gcd(p - q, q) </tex>.*: Тогда Ещё заметим, что для периодов <tex> p - q,\ q </tex> будет меньшее <tex> n </tex>, нежели чем для <tex> p,\ q </tex>, поскольку <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) </tex>. А тогда по предположению индукции получаем, что заключаем: <tex> v </tex> также имеет период <tex> \gcd(p-q, q)</tex>. Поскольку Учитывая <tex> \gcd(p-q, q) = \gcd(p, q) = r </tex>, можем сказать что <tex> v </tex> имеет период <tex> r </tex>.*: Ещё заметимКак уже упоминалось, что <tex> p - q \geqslant r </tex> (<tex> p > q </tex> и по свойствам НОД), поэтому <tex> |v| = |w| - q \geqslant (p + - q - r) - q \geqslant q + (p - q) - r \geqslant q </tex>, тогда в следствие чего по '''лемме 2''' <tex> w </tex> имеет период <tex> r </tex>.}}
}}== См. также ==* [[Основные определения, связанные со строками]]
== Примечания ==
<references></references>
== См. также Источники информации ==* [[Основные определения, связанные со строкамиwikipedia:en:Substring | Wikipedia {{---}} Substring ]]* ''Lothaire M.'' Algebraic Combinatorics on Words {{---}} Cambridge University Press, 2002. {{---}} с. 272. {{---}} ISBN 0-521-81220-8
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]

Навигация