Определения
| Определение: |
| Строка [math]\alpha[/math] называется бордером строки [math]\beta[/math], если [math]\alpha[/math] одновременно является и суффиксом, и префиксом [math]\beta[/math]. |
| Определение: |
| Число [math]p[/math] называется периодом строки [math]\alpha[/math], если [math]\forall i = 1 \ldots n - p[/math] [math]\alpha [i] = \alpha[i + p][/math]. |
Связь периода и бордера
| Теорема: |
Если у строки длины [math]n[/math] есть бордер длины [math]k[/math], то у нее есть период длины [math]n - k[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть дана строка [math]\alpha[/math].
Напишем формально определения бордера длины [math]k[/math] строки [math]\alpha[/math]:
[math]\forall i = 1 \ldots k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (n - k)][/math].
Сделаем замену [math]x = n - k[/math]:
[math]\forall i = 1 \ldots n - x[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + x][/math].
Получили определение периода длины [math]x[/math]. Но [math]x = n - k[/math], значит у строки [math]\alpha[/math] есть период длины [math]n - k[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Свойства периода
| Теорема: |
Если у строки есть период длины [math]k[/math], то у нее есть период длины [math]kx[/math], где [math] x \in N[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть длина строки равна [math]n[/math], сама строка — [math]\alpha[/math].
Доказательство будем вести по индукции по числу [math]x[/math].
- Для [math] x = 1 [/math] утверждение очевидно.
- Пусть верно для [math]x \leqslant m[/math].
- Докажем, что верно для [math]x = m + 1[/math].
Из определения периода имеем, что
[math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + k][/math],
а из предположения индукции, что
[math]\forall i = 1 \ldots n - km[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + mk][/math]
Значит получаем, что
[math]\forall i = 1 \ldots n - km - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k][/math],
следовательно
для [math]\forall i = 1 \ldots n - k(m + 1)[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + k(m + 1)][/math].
Значит у строки есть период длины [math]k(m + 1)[/math].
Утверждение доказано. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма (1): |
Пусть строка [math] w [/math] имеет периоды [math] p [/math] и [math] q [/math], причём [math] p \lt q \leqslant |w| [/math]. Тогда суффикс и префикс [math] w [/math] длины [math] |w| - q [/math] имеют период [math] p - q [/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Покажем истинность утверждения про префикс; с суффиксом доказательство аналогичное.
Требуется показать что [math] s_i = s_{i+p-q} \ \ (i = 1,\dots,n-p) [/math]
Поскольку [math] w [/math] имеет период [math] p [/math], выполнено [math] s_i = s_{i+p} [/math]
Также [math] w [/math] имеет период [math] q [/math] и из ограничений на [math] i [/math] верно [math] 1 \leqslant i + p - q \leqslant n - q [/math], поэтому [math] s_{i+p-q} = s_{i+p} [/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма (2): |
Пусть строка [math] w [/math] имеет период [math] q [/math], и существует [math] v [/math] подстрока [math] w [/math] такая, что [math] |v| \geqslant q [/math] и [math] v [/math] имеет период [math] r [/math], где [math] r | q [/math]. Тогда [math] w [/math] имеет период [math] r [/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть [math] w = s_1 \dots s_n,\ v = s_h \dots s_k [/math], где [math] 1 \leqslant h \lt k \leqslant n [/math].
Требуется показать: [math] a_i = a_j \ (j = i + r,\ 1 \leqslant i, j \leqslant n) [/math].
Заметим, что поскольку [math] |v| \geqslant q [/math], то отрезок [math] [h, k] [/math] содержит по меньшей мере [math] q [/math] целых чисел, поэтому найдутся [math] i' [/math] и [math] j' [/math] такие, что [math] i \equiv i' \pmod q,\ j \equiv j' \pmod q [/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема (Фин и Вильф): |
Если у строки длины [math]n[/math] есть периоды [math]p[/math] и [math]q[/math], где [math]p + q - НОД(p, q) \leqslant n[/math], то НОД[math](p, q)[/math] также является периодом этой строки. |
См. также
Основные определения, связанные со строками
