Период и бордер, их связь

Материал из Викиконспекты
Версия от 14:06, 21 апреля 2012; Dimitrova (обсуждение | вклад) (Свойства периода)
Перейти к: навигация, поиск

Связь периода и бордера

Теорема:
Если у строки длины [math]|n|[/math] есть бордер длины [math]|k|[/math], то у нее есть период длины [math]|n - k|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть дана строка [math]\alpha[/math]. Напишем формально определения бордера длины [math]|k|[/math] строки [math]\alpha[/math]:

  [math]\forall i = 1 \ldots k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (n - k)][/math].

Сделаем замену [math]x = n - k[/math]:

  [math]\forall i = 1 \ldots n - x[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + x][/math]. 
Получили определение периода длины [math]x[/math]. Но [math]x = n - k[/math], значит у строки [math]\alpha[/math] есть период длины [math]|n - k|[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Свойства периода

Теорема:
Если у строки есть период длины [math]|k|[/math], то у нее есть период длины [math]|kx|[/math], где [math] x \in N[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть длина строки равна [math]n[/math], сама строка[math]\alpha[/math].
Доказательство будем вести по индукции по числу [math]x[/math].

  1. Для [math] x = 1 [/math] утверждение очевидно.
  2. Пусть верно для [math]x = m[/math].
  3. Докажем, что верно для [math]x = m + 1[/math].
    Из определения периода имеем, что
    [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + k][/math],
    а из предположения индукции, что
    [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + mk][/math]
    Значит получаем, что
    [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha [i + mk] = \alpha[i + mk + k][/math],
    следовательно
    для [math]\forall i = 1 \ldots n - k[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + (m + 1)k][/math].
    Значит у строки есть период длины [math] |(m + 1)k|[/math].
Утверждение доказано.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если у строки есть периоды длины [math]|p|[/math] и [math]|q|[/math], то НОД[math](p, q)[/math] также является периодом этой строки.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть строка равна [math] \alpha [/math].
Доказательство будем вести по индукции по парам [math](p, q)[/math], где [math] p \geqslant q [/math], а [math](p, q) + 1 = \begin{cases} (p, q + 1), & q \lt p;\\ (p + 1, 1), & q = p.\end{cases}[/math]

  1. Для [math] (1, 1) [/math] утверждение очевидно.
  2. Пусть верно для всех пар меньших [math](p, q)[/math].
  3. Докажем, что верно для [math](p, q)[/math].
    Из определения периода:
    [math]\forall i = 1 \ldots n - p[/math], [math]\alpha [i] = \alpha[i + p] = \alpha[i + q][/math].
    Значит [math]\forall i = q \ldots n - p[/math], [math]\alpha [i + q] = \alpha[i + p][/math]
    Сделаем замену [math]j = i + q[/math] и получим, что
    [math]\forall j = 1 \ldots n - (p - q)[/math], [math]\alpha [j] = \alpha[j + (p - q)][/math]
    Получили новый период длины [math]|p - q|[/math]. Из предположения известно, что НОД[math](p - q, q)[/math] — период строки, но НОД[math](p - q, q)[/math][math]=[/math]НОД[math](p, q)[/math].
Следовательно утверждение доказано.
[math]\triangleleft[/math]