Изменения
→checkNormal
== Эффективная реализация Основная идея ==
Таким образом, получили <tex>3 \cdot n + 3</tex> дополнительных действия за <tex>n + 1</tex> операций, или <tex>3 = O(1)</tex> дополнительных действий на операцию в режиме перекопирования, что и требовалось.
Теперь рассмотрим, как изменились наши стеки за весь период перекопирования. Договоримся, что операция <tex>\mathtt{empty}</tex> не меняет очередь, то есть никакие дополнительные действия не совершаются. Пусть за <tex>n</tex> следующих за активацией меняющих операций (<tex>\mathtt{push}, \mathtt{pop}</tex>) поступило <tex>x</tex> операций <tex>\mathtt{pop}</tex>, <tex>n - x</tex> операций <tex>\mathtt{push}</tex>. Очевидно, что после перекопирования в новых стеках окажется: <tex>n-x</tex> элементов в <tex>L</tex>, <tex>2 \cdot n + 1 - x = (n - x) + (n + 1)</tex> элементов в <tex>R</tex>, то есть до следующего перекопирования еще <tex>n + 2</tex> операции. С другой стороны, стек <tex>Rc</tex> содержал всего <tex>n</tex> элементов, так что мы можем очистить его, просто удаляя по одному элементу при каждой операции в обычном режиме.
Итак, очередь <tex>Q</tex> будет состоять из шести стеков <tex>L,L',R,Rc,Rc',S</tex>, а также двух внутренних переменных <tex>\mathtt{recopy}, \mathtt{toCopy}</tex>, которые нужны для корректности перекопирования + дополнительная переменная <tex>\mathtt{copied}</tex>, показывающая, перемещали ли мы элементы из стека <tex>L</tex> в стек <tex>R</tex>, чтобы не начать перемещать эти элементы в стек <tex>S</tex>.
Инвариант очереди (обычный режим):
# Стек <tex>L</tex> содержит левую половину очереди, порядок при извлечении обратный.
# Стек <tex>R</tex> содержит правую половину очереди, порядок при извлечении прямой.
# <tex>L.size \leqslant R.size</tex>
# <tex>R.size = 0 \equiv Q.size = 0</tex>
# <tex>Rc</tex> {{---}} копия <tex>R</tex>
# <tex>Rc'.size < R.size - L.size</tex>
# <tex>L'.size = 0, S.size = 0</tex>
Тогда к следующему перекопированию (<tex>L.size=R.size+1</tex>) мы гарантированно будем иметь пустые стеки <tex>L',S,Rc'</tex>, которые нам понадобятся.
Инвариант очереди (режим перекопирования):
# <tex>Rc.size = \mathtt{toCopy}</tex>
# Если <tex>L.size = 0</tex>, то:
## При <tex>\mathtt{toCopy} > 0</tex> первые <tex>\mathtt{toCopy}</tex> элементов <tex>S</tex> {{---}} корректны, то есть действительно содержатся в очереди.
## При <tex>\mathtt{toCopy} \leqslant 0</tex> стек <tex>R</tex> содержит весь правый кусок очереди в правильном порядке.
Очередь будет работать в двух режимах:
# Обычный режим, кладем в <tex>L</tex>, извлекаем из <tex>R</tex> и из <tex>Rc, Rc'</tex> для поддержания порядка, операция <tex>empty = (R.size = 0)</tex>.
# Режим перекопирования, кладем в <tex>L'</tex>, извлекаем из <tex>Rc</tex>, возможно из <tex>R</tex>, <tex>\mathtt{empty} = \mathtt{false}</tex>, совершаем дополнительные действия.
Также после операции в обычном режиме следует проверка на активацию перекопирования (<tex>\mathtt{recopy} = (L.size > R.size)</tex>), если это так, <tex>\mathtt{toCopy} = R.size, \mathtt{recopy} = true, \mathtt{copied} = false</tex>, совершается первый набор дополнительных действий.
После операции в режиме перекопирования следует проверка на завершение перекопирования (<tex>\mathtt{recopy} = (S.size == 0)</tex>), а при завершении меняются ролями стеки <tex>Rc, Rc'</tex>, <tex>L, L'</tex>.
Следующий псевдокод выполняет требуемые операции:
=== empty ===
<code>
'''boolean''' empty():
'''return''' !recopy '''and''' R.size == 0
</code>
=== push ===
<code>
'''function''' push(x : '''T'''):
'''if''' !recopy
L.push(x)
'''if''' Rc'.size > 0
Rc'.pop()
checkRecopy()
'''else'''
L'.push(x)
checkNormal()
</code>
=== pop ===
<code>
'''T''' pop():
'''if''' !recopy
'''T''' tmp = R.pop()
Rc.pop()
'''if''' Rc'.size > 0
Rc'.pop()
checkRecopy()
'''return''' tmp
'''else'''
'''T''' tmp = Rc.pop()
'''if''' toCopy > 0
toCopy = toCopy - 1
'''else'''
R.pop()
Rc'.pop()
checkNormal()
'''return''' tmp
</code>
=== checkRecopy ===
<code>
'''function''' checkRecopy():
recopy = L.size > R.size
'''if''' recopy
toCopy = R.size
copied = false
checkNormal()
</code>
=== checkNormal ===
<code>
'''function''' checkNormal():
additionalOperations()
<span style="color:#008000">// Если мы не все перекопировали, то у нас не пуст стек S</span>
recopy = S.size <tex> \neq </tex> 0
</code>
=== additionalOperations ===
<code>
'''function''' additionalOperations():
<span style="color:#008000">// Нам достаточно 3 операций на вызов</span>
'''int''' toDo = 3
<span style="color:#008000">// Пытаемся перекопировать R в S</span>
'''while''' '''not''' copied '''and''' toDo > 0 '''and''' R.size > 0
S.push(R.pop())
toDo = toDo - 1
<span style="color:#008000">// Пытаемся перекопировать L в R и Rc'</span>
'''while''' toDo > 0 '''and''' L.size > 0
copied = true
'''T''' x = L.pop()
R.push(x)
Rc'.push(x)
toDo = toDo - 1
<span style="color:#008000">// Пытаемся перекопировать S в R и Rc' с учетом toCopy</span>
'''while''' toDo > 0 '''and''' S.size > 0
'''T''' x = S.pop()
'''if''' toCopy > 0
R.push(x)
Rc'.push(x)
toCopy = toCopy - 1
toDo = toDo - 1
<span style="color:#008000">// Если все скопировано, то меняем роли L, L' и Rc, Rc'</span>
'''if''' S.size == 0
swap(L, L')
swap(Rc, Rc')
</code>
== Персистентная очередь на пяти стеках ==
После того, как мы получили [[Персистентная очередь#Реализация очереди на шести стеках|очередь в реальном времени]] с <tex>O(1) = 6</tex> обычными стеками, ее можно легко превратить в персистентную, сделав все стеки [[Персистентный стек|персистентными]], но на самом деле персистентность позволяет не создавать явной копии стека <tex>R</tex>, так что достаточно всего пяти стеков.
Вместо стеков <tex>Rc, Rc'</tex> персистентная очередь хранит один стек <tex>R'</tex>, в который при активации перекопирования записывается последняя версия стека <tex>R</tex>, в дальнейшем все операции <tex>\mathtt{pop}</tex> обращаются именно к ней. Все замечания о <tex>\mathtt{toCopy}</tex> остаются в силе.
Также нам нет необходимости опустошать стек <tex>R'</tex> к моменту перекопирования, так как скопировать туда новую версию <tex>R</tex> мы можем за <tex>O(1)</tex>, а освобождение ячеек памяти бессмысленно, так как они используются в других версиях персистентной очереди.
В качестве версии очереди мы будем использовать запись <tex>Q= \langle L, L', R, R', S, \mathtt{recopy}, \mathtt{toCopy}, \mathtt{copied}\rangle</tex>, содержащую пять версий персистентных стеков и три переменных.
Пусть персистентный стек возвращает вместе с обычным результатом работы стека новую версию, то есть операция <tex>S.pop</tex> возвращает <tex>\langle Sn, x\rangle</tex>, а операция <tex>S.push(x)</tex> возвращает <tex>Sn</tex>.
Аналогично свою новую версию вместе с результатом операции возвращает и персистентная очередь, то есть <tex>Q.pop</tex> возвращает <tex>\langle Qn, x\rangle</tex>, а <tex>Q.push(x)</tex> возвращает <tex>Qn</tex>.
Следующий псевдокод выполняет требуемые операции:
=== empty ===
<code>
'''boolean''' empty():
'''return''' !recopy '''and''' R.size == 0
</code>
=== push ===
<code>
'''function''' push(x : '''T'''):
'''if''' !recopy
'''stack<T>''' Ln = L.push(x)
<'''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''boolean''', '''int''', '''boolean'''> Q' = <Ln, L', R, R', S, recopy, toCopy, copied>
'''return''' Q'.checkRecopy()
'''else'''
'''stack<T>''' Ln' = L'.push(x)
<'''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''boolean''', '''int''', '''boolean'''> Q' = <L, Ln', R, R', S, recopy, toCopy, copied>
'''return''' Q'.checkNormal()
</code>
=== pop ===
<code>
<'''stack<T>''', '''T'''> pop():
'''if''' !recopy
<Rn, x> = R.pop()
<'''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''boolean''', '''int''', '''boolean'''> Q' = <L, L', Rn, R', S, recopy, toCopy, copied>
'''return''' <Q'.checkRecopy(), x>
'''else'''
<Rn', x> = R'.pop()
'''int''' curCopy = toCopy
Rn = R
'''if''' toCopy > 0
curCopy = curCopy - 1
'''else'''
<Rn, x> = Rn.pop()
Q' = <L, L', Rn, Rn', S, recopy, curCopy, copied>
'''return''' <Q'.checkNormal(), x>
</code>
=== checkRecopy ===
<code>
<'''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''boolean''', '''int''', '''boolean'''> checkRecopy():
'''if''' L.size > R.size
<'''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''boolean''', '''int''', '''boolean'''> Q' = <L, L', R, R', S, true, R.size, false>
'''return''' Q'.checkNormal()
'''else'''
'''return''' <L, L', R, R', S, false, toCopy, copied>
</code>
=== checkNormal ===
<code>
<'''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''boolean''', '''int''', '''boolean'''> checkNormal():
Q' = Q.additionalOperations()
<span style="color:#008000">// Если мы не все перекопировали, то у нас не пуст стек S</span>
return <Q'.L, Q'.L', Q'.R, Q'.R', Q'.S, Q'.S.size <tex> \ne </tex> 0, Q'.toCopy, Q'.copied>
</code>
=== additionalOperations ===
<code>
<'''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''stack<T>''', '''boolean''', '''int''', '''boolean'''> additionalOperations():
<span style="color:#008000">// Нам достаточно 3 операций на вызов</span>
'''int''' toDo = 3
<span style="color:#008000">// Пытаемся перекопировать R в S</span>
'''stack<T>''' Rn = R
'''stack<T>''' Sn = S
'''boolean''' curCopied = copied
'''while''' '''not''' curCopied '''and''' toDo > 0 '''and''' Rn.size > 0
<Rn, x> = Rn.pop()
Sn = Sn.push(x)
toDo = toDo - 1
Ln = L
<span style="color:#008000">// Пытаемся перекопировать L в R</span>
'''while''' toDo > 0 '''and''' Ln.size > 0
curCopied = true
<Ln, x> = Ln.pop()
Rn = Rn.push(x)
toDo = toDo - 1
curCopy = toCopy
<span style="color:#008000">// Пытаемся перекопировать S в R с учетом toCopy</span>
'''while''' toDo > 0 '''and''' Sn.size > 0
<Sn, x> = Sn.pop()
'''if''' curCopy > 0
Rn = Rn.push(x)
curCopy = curCopy - 1
toDo = toDo - 1
'''stack<T>''' Ln' = L'
<span style="color:#008000">// Если все скопировано, то меняем роли L1, L2</span>
'''if''' S.size == 0
swap(Ln, Ln')
'''return''' <Ln, Ln', Rn, R', Sn, recopy, curCopy, curCopied>
</code>
== Пример ==
Пусть мы создали персистентную очередь. Будем изображать ее в виде пяти деревьев версий персистентных стеков, закрашенные вершины {{---}} текущие версии стеков, соответствующие текущему состоянию очереди; стрелка от стека <tex>R'</tex> указывает на ту версию стека <tex>R</tex>, которая там сейчас хранится. В самих вершинах записаны соответствующие этим вершинам значения.
[[Файл:PersistentQueue_state0.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex> \mathtt{push(1)} </tex>, изначально режим обычный, так что элемент пойдет в стек <tex>L</tex>. Эта операция активирует режим перекопирования, в результате которого содержимое <tex>L</tex> перекопируется в стек <tex>R</tex>, после чего перекопирование завершится, стеки <tex>L, L'</tex> поменяются местами.
[[Файл:PersistentQueue_state1.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex> \mathtt{push(2)} </tex>, у нас обычный режим, поэтому элемент пойдет в стек <tex>L</tex>, перекопирование не активируется.
[[Файл:PersistentQueue_state2.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex> \mathtt{push(3)} </tex>, у нас обычный режим, поэтому элемент пойдет в стек <tex>L</tex>, активируется перекопирование, <tex>R' = R</tex>, за три операции мы успеваем перекопировать элемент стека <tex>R</tex> в стек <tex>S</tex>, а также перекопировать два элемента стека <tex>L</tex> в стек <tex>R</tex>.
[[Файл:PersistentQueue_state3.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex> \mathtt{push(4)} </tex>, мы в режиме перекопирования, поэтому элемент пойдет в стек <tex>L'</tex>, далее мы успеваем перекопировать обратно элемент из стека <tex>S</tex> в стек <tex>R</tex>, перекопирование завершается, стеки <tex>L, L'</tex> меняются местами.
[[Файл:PersistentQueue_state4.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex> \mathtt{push(5)} </tex>, у нас обычный режим, поэтому элемент пойдет в стек <tex>L</tex>, перекопирование не активируется.
[[Файл:PersistentQueue_state5.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex> \mathtt{push(6)} </tex>, у нас обычный режим, поэтому элемент пойдет в стек <tex>L</tex>, перекопирование не активируется.
[[Файл:PersistentQueue_state6.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex> \mathtt{push(7)} </tex>, у нас обычный режим, поэтому элемент пойдет в стек <tex>L</tex>, перекопирование активируется, <tex>R' = R</tex>, <tex>\mathtt{toCopy} = 3</tex>, за три операции мы успеваем перекопировать содержимое стека <tex>R</tex> в стек <tex>S</tex>.
[[Файл:PersistentQueue_state7.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex>\mathtt{pop}</tex>, мы находимся в режиме перекопирования, так что элемент извлекается из <tex>R'</tex>, <tex>\mathtt{toCopy} = 2</tex>. За три операции мы успеваем перекопировать три элемента стека <tex>L</tex> в стек <tex>R</tex>.
[[Файл:PersistentQueue_state8.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex>\mathtt{pop}</tex>, мы находимся в режиме перекопирования, так что элемент извлекается из <tex>R'</tex>, <tex>\mathtt{toCopy} = 1</tex>. За три операции мы успеваем перекопировать один элемент стека <tex>L</tex> в стек <tex>R</tex>, а также извлечь два элемента стека <tex>S</tex>, с учетом <tex>\mathtt{toCopy}</tex> только один элемент попадет в стек <tex>R</tex>, <tex>\mathtt{toCopy} = 0</tex>.
[[Файл:PersistentQueue_State9.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
Сделаем операцию <tex>\mathtt{pop}</tex>, мы находимся в режиме перекопирования, так что элемент извлекается из <tex>R'</tex>, но <tex>\mathtt{toCopy} = 0</tex>, так что нам приходится извлечь еше один элемент из стека <tex>R</tex>. Мы извлекаем один элемент из стека <tex>S</tex>, перекопирование заканчивается, стеки <tex>L, L'</tex> меняются местами.
[[Файл:PersistentQueue_state10.png|300px|nothumb|left|]]
<br clear = "all"/>
== См. также ==
*[[Персистентный стек]]
*[[Персистентный дек]]
*[[Персистентная приоритетная очередь]]
== Источники информации ==
* [http://hdl.handle.net/1813/6273 ''Hood R., Melville R.'' Real Time Queue Operations in Pure LISP. {{---}} Cornell University, 1980]
* [http://habrahabr.ru/post/241231 Хабрахабр {{---}} Персистентная очередь]
* [http://codeforces.com/blog/entry/15685 Codeforces {{---}} Персистентная очередь и её друзья]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Амортизационный анализ]]
[[Категория: Структуры данных]]
