120
правок
Изменения
Нет описания правки
=Основная идея = Эффективная реализация Для создания персистентной очереди очень удобно пользоваться ее реализацией на стеках, поскольку стеки легко сделать персистентными. Реализация на двух стеках не подходит для этого, так как в худшем сучае требует <tex>O(n)</tex> времени, а значит и <tex>O(n)</tex> памяти в случае персистентности на операцию. Покажем сначала как создать очередь в реальном времени с <tex>O(1)</tex> времени на операцию, а затем превратим ее в персистентную. ==Реализация очереди на шести стеках == Одним из минусов реализации на двух стеках является то, что в худшем случае мы тратим <tex>O(n)</tex> времени на операцию. Если распределить время, необходимое для перемещения элементов из одного стека в другой, по операциям, мы получим очередь без худших случаев с <tex>O(1)</tex> истинного времени на операцию. Сначала будем действовать аналогично случаю с двумя стеками. Пусть у нас есть стек <tex>L</tex> для операций <tex>push</tex> и стек <tex>R</tex> для операций <tex>pop</tex>. К моменту опустошения стека <tex>R</tex> нам нужно успеть получить стек <tex>R'</tex>, содержащий текущие элементы стека <tex>L</tex> в правильном для извлечения порядке. Перекопирование (''recopy mode'') начнется, когда появится опасность того, что мы не сможем за оставшиеся <tex>R.size</tex> операций <tex>pop</tex> со стеком <tex>R</tex> перекопировать стек <tex>L</tex> в новый стек <tex>R'</tex>. Очевидно, это ситуация <tex>L.size>R.size</tex>, пусть такое состояние отражает специальная переменная логического типа <tex>recopy</tex>. Понятно, что во время перекопирования могут поступить операции <tex>push</tex>, а стек <tex>L</tex> в это время потеряет свою структуру, сложить элементы туда мы уже не сможем, значит нужно завести еще один стек <tex>L'</tex>, в который мы и будем складывать новые элементы. После окончания перекопирования мы поменяем ролями <tex>L,L'</tex> и <tex>R,R'</tex>, и вроде бы все станет хорошо. Однако, если реализовать этот алгоритм, мы получим неприятную вещь: старый стек <tex>R</tex> может и не опустошиться за это время, то есть мы получили два стека с выходными данными, а значит, возможен случай (например, если все поступающие операции {{---}} <tex>push</tex>), когда при следующем перекопировании у нас не будет свободного стека для копировании туда элементов <tex>L</tex>. Для преодоления этой проблемы мы принудительно будем извлекать все элементы из стека <tex>R</tex> во вспомогательный стек <tex>T</tex>, затем копировать элементы из стека <tex>L</tex> в <tex>R</tex>, а затем обратно копировать элементы из стека <tex>T</tex> в <tex>R</tex>. Легко показать, что приведенный алгоритм как раз получает на выходе в <tex>R</tex> все элементы стеков <tex>L,R</tex> в правильном порядке. Но этого еще недостаточно. Если мы принудительно извлекаем элементы из стека <tex>R</tex>, появляются следующие проблемы:# Что вернуть при операции <tex>pop</tex>? Для этого заведем себе стек <tex>Rc</tex> {{---}} копию стека <tex>R</tex>, из которого мы и будем извлекать требуемые элементы.# Как поддерживать корректность такой копии? Поскольку этот стек нужен только для перекопирования, а во время него он занят, нужна запасная копия <tex>Rc'</tex> для копирования всех элементов, которые мы копируем в <tex>R</tex>, а по окончании перекопирования поменяем ролями стеки <tex>Rc, Rc'</tex>, как мы делали со стеками <tex>L, L'</tex>.# Как учесть, что во время перекопирования часть элементов была извлечена из <tex>Rc</tex>? Для этого заведем специальную переменную <tex>toCopy</tex>, которая показывает, сколько корректных элементов находится в стеке <tex>T</tex>, и уменьшается при каждом извлечении из <tex>T</tex> или операции <tex>pop</tex>. К счастью, все некорректные элементы будут нарастать со дна стека, так что мы никогда не извлечем некорректный элемент, если <tex>toCopy>0</tex>. Если во время операции <tex>pop</tex> у нас <tex>toCopy = 0</tex>, это означает, что теперь в стеке <tex>R</tex> находится весь правый кусок очереди, так что нам придется извлечь элемент из него. Теперь может возникнуть проблема с непустым <tex>Rc</tex> после завершения перекопирования. Покажем, что мы всегда успеем его опустошить, если будем использовать дополнительное извлечение из него при каждой операции в обычном режиме, для этого полностью проанализируем алгоритм. Пусть на начало перекопирования в стеке <tex>R</tex> содержится <tex>n</tex> элементов, тогда в стеке <tex>L</tex> находится <tex>n+1</tex> элементов. Мы корректно можем обработать любое количество операций <tex>push</tex>, а также <tex>n</tex> операций <tex>pop</tex>. Заметим, что операция <tex>empty</tex> во время перекопирования всегда возвращает <tex>false</tex>, так как мы не можем извлекать элементы из стека <tex>L</tex>, который не пустой. Таким образом вместе с операцией, активирующей перекопирование, мы гарантированно можем корректно обработать <tex>n + 1</tex> операцию. Посмотрим на дополнительные действия, которые нам предстоят:# Переместить содержимое <tex>R</tex> в <tex>T</tex>, <tex>n</tex> действий.# Переместить содержимое <tex>L</tex> в стеки <tex>R, Rc'</tex>, <tex>n + 1</tex> действий.# Переместить первые <tex>toCopy</tex> элементов из <tex>T</tex> в <tex>R, Rc'</tex>, остальные выкинуть, <tex>n</tex> действий.# Поменять ролями стеки <tex>Rc, Rc'</tex>, <tex>L, L'</tex>, <tex>2</tex> действия. Таким образом, получили <tex>3 \cdot n + 3</tex> дополнительных действия за <tex>n + 1</tex> операций, или <tex>3=O(1)</tex> дополнительных действий на операцию в режиме перекопирования, что и требовалось. Теперь рассмотрим, как изменились наши стеки за весь период перекопирования. Договоримся, что операция <tex>empty</tex> не меняет очередь, то есть никакие дополнительные действия не совершаются. Пусть за <tex>n</tex> следующих за активацией меняющих операций (<tex>push, pop</tex>) поступило <tex>x</tex> операций <tex>pop</tex>, <tex>n - x</tex> операций <tex>push</tex>. Очевидно, что после перекопирования в новых стеках окажется: <tex>n-x</tex> элементов в <tex>L</tex>, <tex>2 \cdot n + 1 - x = (n - x) + (n + 1)</tex> элементов в <tex>R</tex>, то есть до следующего перекопирования еще <tex>n+2</tex> операции. С другой стороны, стек <tex>Rc</tex> содержал всего <tex>n</tex> элементов, так что мы можем очистить его, просто удаляя по одному элементу при каждой операции в обычном режиме. Итак, очередь <tex>Q</tex> будет состоять из шести стеков <tex>L,L',R,Rc,Rc',T</tex>, а также двух внутренних переменных <tex>recopy, toCopy</tex>, которые нужны для корректности перекопирования + дополнительная переменная <tex>copied</tex>, показывающая, перемещали ли мы элементы из стека <tex>L</tex> в стек <tex>R</tex>, чтобы не начать перемещать эти элементы в стек <tex>T</tex>. Инвариант очереди (обычный режим):# Стек <tex>L</tex> содержит левую половину очереди, порядок при извлечении обратный.# Стек <tex>R</tex> содержит правую половину очереди, порядок при извлечении прямой.# <tex>L.size \leqslant R.size</tex># <tex>R.size = 0 \equiv Q.size = 0</tex># <tex>Rc</tex> {{---}} копия <tex>R</tex># <tex>Rc'.size < R.size - L.size</tex># <tex>L'.size = 0, T.size = 0</tex> Тогда к следующему перекопированию (<tex>L.size=R.size+1</tex>) мы гарантированно будем иметь пустые стеки <tex>L',T,Rc'</tex>, которые нам понадобятся. Инвариант очереди (режим перекопирования):# <tex>Rc.size = toCopy</tex># Если <tex>L.size = 0</tex>, то:## При <tex>toCopy > 0</tex> первые <tex>toCopy</tex> элементов <tex>T</tex> {{---}} корректны, то есть действительно содержатся в очереди.## При <tex>toCopy \leqslant 0</tex> стек <tex>R</tex> содержит весь правый кусок очереди в правильном порядке. Очередь будет работать в двух режимах:# Обычный режим, кладем в <tex>L</tex>, извлекаем из <tex>R</tex> и из <tex>Rc, Rc'</tex> для поддержания порядка, операция <tex>empty = (R.size = 0)</tex>.# Режим перекопирования, кладем в <tex>L'</tex>, извлекаем из <tex>Rc</tex>, возможно из <tex>R</tex>, <tex>empty=false</tex>, совершаем дополнительные действия. Также после операции в обычном режиме следует проверка на активацию перекопирования (<tex>recopy = (L.size > R.size)</tex>), если это так, <tex>toCopy=R.size, recopy=true, copied = false</tex>, совершается первый набор дополнительных действий. После операции в режиме перекопирования следует проверка на завершение перекопирования (<tex>recopy=(T.size==0)</tex>), а при завершении меняются ролями стеки <tex>Rc, Rc'</tex>, <tex>L, L'</tex>. Следующий псевдокод выполняет требуемые операции:=== empty ===<code> empty() '''return''' !recopy '''and''' R.size == 0</code>=== push ===<code> push(x) '''if''' !recopy: L.push(x) '''if''' Rc'.size > 0: Rc'.pop() checkRecopy() '''else''': L'.push(x) checkNormal()</code>=== pop ===<code> pop() '''if''' !recopy: tmp = R.pop() Rc.pop() '''if''' Rc'.size > 0: Rc'.pop() checkRecopy() '''return''' tmp '''else''': tmp = Rc.pop() '''if''' toCopy > 0: toCopy = toCopy - 1 '''else''': R.pop() Rc'.pop() checkNormal() '''return''' tmp</code> === checkRecopy ===<code> checkRecopy() recopy = L.size > R.size '''if''' recopy: toCopy = R.size copied = false checkNormal()</code> === checkNormal ===<code> checkNormal() additionalOperations() // Если мы не все перекопировали, то у нас не пуст стек T recopy = T.size <tex> \ne </tex> 0</code>=== additionalOperations ===<code> additionalOperations() // Нам достаточно 3 операций на вызов toDo = 3 // Пытаемся перекопировать R в T '''while''' '''not''' copied '''and''' toDo > 0 '''and''' R.size > 0: T.push(R.pop()) toDo = toDo - 1 // Пытаемся перекопировать L в R и Rc' '''while''' toDo > 0 '''and''' L.size > 0: copied = true x = L.pop() R.push(x) Rc'.push(x) toDo = toDo - 1 // Пытаемся перекопировать T в R и Rc' с учетом toCopy '''while''' toDo > 0 '''and''' T.size > 0: x = T.pop() '''if''' toCopy > 0: R.push(x) Rc'.push(x) toCopy = toCopy - 1 toDo = toDo - 1 // Если все скопировано, то меняем роли L, L' и Rc, Rc' '''if''' T.size == 0: swap(L, L') swap(Rc, Rc')</code> == Персистентная очередь на пяти стеках == После того, как мы получили [[Персистентная очередь#Реализация очереди на шести стеках|очередь в реальном времени]] с <tex>O(1)=6</tex> обычными [[Стек|стеками]], ее можно легко превратить в персистентную, сделав все стеки [[Персистентный стек|персистентными]], но на самом деле персистентность позволяет не создавать явной копии стека, так что достаточно всего пяти стеков.
Будем отталкиваться от реализации на [[Очередь#Реализация на двух стеках|двух стеках]]. Пусть у нас есть стек <tex>L</tex> для операций <tex>push</tex>, стек <tex>R</tex> для операций <tex>pop</tex>.
