Изменения

{{Определение|definition = '''Дек''' (англ. deque {{---}} double ended queue {{---}} очередь с двумя концами) {{---}} структура данных с двусторонним доступом к элементам, т.е. их можно удалять и добавлять как в начало, так и в конец дека.}}[[Файл:Deque.png|thumb|220px|Дек]]Кроме дека ещё существует структура данных, называемая ''steque'', которая представляет собой объединение стека и очереди {{- --}} элементы можно добавлять только в один конец, а извлекать {{---}} с обоих.

=== Способ хранения структуры ===[[Файл:Tree_deque.png|thumb|220px|right|Древовидная структура дека]]Написать дек на массиве не представляет особого труда, зная уже, как работают стек и очередь. Далее будет приведена реализация операций добавления элемента и извлечения из одного конца дека за истинное время работы <tex> O(\log ~ n). </tex> Добавление и исключение из другого конца делается симметрично.

Персистентный дек можно визуально представить как дерево[[Список#Односвязный список | односвязный список]], где каждый узел хранит пару {{- --}} левый элемент и правый, а также ''ребёнка'' {{-- -}} ссылку на следующий декузел. Только с каждым уровнем вложенности левый и правый элемент каждого узла хранят в два раза больше объектов, чем на предыдущем уровнепредыдущий. Это удобно сделать с помощью типа ''пара''.

Тип <tex>\mathrm{Pair}</tex> хранит пару элементов <tex>\mathrm{first}</tex> и <tex>\mathrm{last}</tex> типов <tex>T_1T</tex> и <tex>T_2</tex> соответственно.

'''class''' Pair<<tex>T_1, ~T_2</texT>> {: <tex>T_1 ~T first;</tex> <tex>T_2 ~T last;</tex> };

Сам дек можно инициализировать напрямую, вызвав конструктор <tex>\mathrm{Deque(left, ~child, ~right)}</tex>, или . Описание структуры через шаблоны шаблон <tex>\mathrm{Deque{<Pair<T_1, ~T_2>}T{>}}</tex>, тогда произойдёт следующее:

'''class''' Deque<Pair<<tex> T_1, ~T_2 </tex>>T> {: <tex>T_1</tex> T left; <tex>T_2</tex> T right; Deque<Pair<Pair<<tex> T_1, ~T_2 </tex>>, Pair<<tex> T_1, ~T_2 </tex>T>> child; };

Таким образом элементы с начала хранятся в левой ветке дереваНаша структура данных персистентна, следовательно операция <tex> \mathrm{pushFront(x, ~D)} </tex> возвращает новый дек <tex> D' </tex> c элементом <tex> x </tex>, а с конца - добавленным в правойначало <tex> D </tex>.

Наша структура данных персистентна=== push ===Пустой дек будем обозначать значком <tex> \emptyset </tex>, следовательно операция а пустую пару {{---}} <tex> D.push\_front(x) varnothing </tex> возвращает новый дек , чтобы было яснее, когда мы обращаемся к деку, а когда к элементу. Когда мы хотим добавить элемент в начало дека или удалить из начала, то прежде всего обращаемся к полю <tex> D' \mathrm{left}</tex> c элементом . Если же работаем с концом, то обращаемся сперва к полю <tex> x \mathrm{right}</tex> в начале.

push_front'''Deque<T>''' pushFront(x: '''T''', D: '''Deque<T>'''): '''if''' D == <tex> \emptyset </tex> <font color=darkgreen>// если дек пустой, то формируем новый дек </font> '''return''' Deque(x, <tex> \emptyset ,~ \varnothing </tex>) '''else if ''' D.left == <tex> \varnothing </tex> <font color=darkgreen>// если левый ребенок не существует, то сделаем его новым элементом<tex> x </tex> левым ребёнком </font> '''return ''' Deque(x, D.child, D.right) '''else''' <font color=darkgreen>// иначе объединим его левого ребёнка с новым элементов элементом и попытаемся добавить в дек на следующем уровне</font> '''return ''' Deque(<tex> \varnothing </tex>, child.push_frontpushFront(Pair<(x, D.left>), D.child), D.right)

=== pop ===Метод <tex> D.pop\_frontmathrm{popFront(D) } </tex> возвращает пару <tex> \left \langle e, ~D' \right \rangle </tex> из первого элемента и нового дека, полученного из старого изъятием этого элемента.

pop_front'''Pair<T, Deque<T>>''' popFront(D: '''Deque<T>'''): '''if''' D == <tex> \emptyset </tex> <font color=darkgreen>// изъятие элемента из пустого дека возвращает пару "нулевой элемент {{---}} пустой дек"</font> '''return''' <tex> \mathcal{h} \varnothing ,~ \emptyset \mathcal{i} </tex> '''else if ''' D.left <tex> \neq ~\varnothing</tex> <font color=darkgreen>// если левый ребёнок не пуст, то возвращаем пару из него и нового дека без левого ребёнка, // но если остался только левый ребёнок, то возвращаем его и пустой дек</font> '''if''' D.child == <tex> \emptyset </tex> '''and''' D.right == <tex> \varnothing </tex> '''return ''' <tex> \mathcal{h} </tex>D.left, <tex> \emptyset \mathcal{i} </tex> '''return''' <tex> \mathcal{h} </tex>D.left, Deque(<tex> \varnothing </tex>, D.child, D.right)<tex> \mathcal{i} </tex> '''else if ''' D.child == <tex> \varnothing</tex> <font color=darkgreen>// если левый ребёнок оказался пуст, и при этом ссылка на следующий дек отсутствует, // то вернём пару из правого ребёнка и абсолютно пустого дека</font> '''return ''' <tex> \mathcal{h} </tex>D.right, Deque(<tex> \varnothing ,~\varnothing ,~\varnothing </tex>)<tex> emptyset \mathcal{i} </tex> '''else''' <font color=darkgreen>/* * если два предыдущих условия оказались не выполнены, то мы рекурсивно вызываем метод pop_front()<tex>\mathrm{popFront}</tex> * и возвращённую пару "элемент{{---}} новый дек" сохраняем в переменные <tex>temp & </tex> и <tex>newDeque</tex>. * Рекурсивные вызовы прекратятся, как только левый ребёнок окажется существующим не пустым * или в деке будет отсутствовать ссылка на следующий дек. */ </font> (temp, newDeque <tex> \leftarrow </tex> ) = popFront(D.child.pop_front() if temp =<font color= <tex> \varnothing </texdarkgreen> /* * это возможно только тогда, когда в деке на максимальной глубине все элементы оказались пусты, * значит, мы сейчас на предпоследнем уровне, левый ребёнок пустой и child ссылается на абсолютно пустой дек, * поэтому возвращаем right текущего дека и пустой дек */ return здесь <tex> \mathcal{h} temp</tex>right, Dequeвсегда не пуст; надо вернуть первый элемент пары temp * (в этом блоке temp всегда будет иметь тип <tex> \varnothing ,~\varnothing ,~\varnothing </tex>)<tex> \mathcalmathrm{iPair} </tex> else /* * если всё же temp не пуст, то надо вернуть первый элементы пары temp); * в качестве left нового дека надо поставить <tex>temp.last </tex> (на уровне ниже <tex>temp </tex> хранил * в два раза больше элементов, поэтому на текущем уровне <tex>temp.last </tex> будет соответствовать * требуемому количеству элементов); <tex>newDeque </tex> делаем <tex>child</tex>'ом * нового дека, а <tex>right </tex> текущего <tex>right</tex>'ом нового */</font> '''return ''' <tex> \mathcal{h} langle </tex>temp.first, Deque(temp.last, newDeque, D.right)<tex> \mathcal{i} rangle </tex>

Чтобы извлечь элемент, придётся спуститься не больше, чем на глубину дерева. Аналогично для Операции добавленияв правый конец и извлечение из него делаются симметрично. Поэтому обе операции выполняются за <tex> O(\log ~n) </tex>

== Описание асипмтотики =Асимптотика времени работы ===Таким образом, если мы добавляем элементы только в один конец, то на <tex> i </tex>-ом уровне дека не более <tex> 2^i </tex> элементов. Пусть глубина текущего дека <tex> d. </tex> Тогда в нём может находится не более <tex> n = 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^d </tex> объектов, откуда получаем <tex> d = \mathcal{b} \log_2 n \mathcal{c} </tex>.

Рассмотрим поподробнее асимптотику операцийЧтобы извлечь элемент, придётся спуститься не больше, чем на глубину дерева. В худшем случае элементы будут добавляться только в один конец, а извлекаться из другогоАналогично для добавления.Поэтому обе операции выполняются за <tex> \mathcal{O}(\log n) </tex>

=== push_front =Пример ==

Изначально у нас пустой декРассмотрим поподробнее операции. Элементы будем добавлять В худшем случае элементы будут добавляться только в левый один конец дека и нумеровать согласно порядку добавления. Сначала добавим первый элемент. Этот элемент встанет на позицию левого ребёнка первого уровня дека. Теперь попытаемся добавить второй элемент. Позиция левого ребёнка занята, значит, мы объединяем новый элемент со старым и ставим сформированную пару на место левого ребёнка второго дека. Добавим третий элемент. После предыдущего действия появилась свободная вакансия на место левого ребёнка дека первого уровня, поэтому новый элемент занимает это место. И, наконец, добавим 4-ый элемент. Он объединяется в пару с левым ребёнком дека первого уровня, затем новая пара объединяется со старой парой на втором уровне и добавляется в дек на высоте 2. И так далее.[[Файл:PushDequeExampleа извлекаться из другого.png]]

Таким образом, если мы добавляем элементы только в один конец, то на <tex> i </tex>-ом уровне дека не более <tex> 2^i </tex> элементов. Пусть высота текущего дека <tex> h. </tex> Тогда в нём может находится не более <tex> n ~=~ 1 ~+~ 2 ~+~ 4 ~+...+~ 2^h </tex> объектов, откуда получаем <tex> h = \mathcal{b} \log_2 ~n \mathcal{c} </tex>.= pushFront ===

Посмотрим, как работает ''pop_front'' на примере дека, симметричного нашему предыдущему (в рисунке надо понять, что элементы хранятся слева направо[[Файл: ''4 3 2 1'')PushDequeExample.png|700px]]

=== popFront === Посмотрим, как работает <tex>\mathrm{popFront}</tex> на примере дека, симметричного нашему предыдущему (в рисунке надо понять, что элементы хранятся слева направо: <tex>4 ~3 ~2 ~1</tex>). Запустим первый <tex> pop\_front() mathrm{popFront} </tex>. Он будет рекурсивно вызывать сам себя, пока не дойдёт до последней ветки. Тогда в пару <tex> \left \langle temp, ~newDeque \right \rangle </tex> сохранятся две пары элементов и пустой дек высоты <tex>0</tex>. Так как <tex> temp </tex> не пуст, то в предыдущий рекурсивный вызов вернётся пара: в <tex>temp </tex> новый сохранится пара ''<tex>4 ~3''</tex>, на текущем уровне будет пара ''<tex>2 ~1''</tex>, а <tex> child </tex> будет ссылаться на пустой дек. Потом пара ''<tex>4 ~3'' </tex> передастся выше, ''<tex>child'' </tex> сохраняет ссылку на предыдущий дек, и, наконец, ''<tex>4'' </tex> извлечётся. И так далее. Как видноАналогично добавлению, процесс извлечения элемента можно представить, как вычитание <tex> pop 1</tex> тоже выполняется за <tex> O(\log ~ n)из младшего разряда двоичного числа. </tex> [[Файл:PopDequeExample.png|700px]]

== Ссылки Источники информации ==