Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Погрешность предиката левый поворот

4824 байта добавлено, 03:06, 30 января 2012
Нет описания правки
{{в разработке}}
helloПусть две точки заданны абсолютно точно, а одна - точка внешнего касания двух окружностей <tex>(o_1(x1, y1), r_1)</tex> и <tex>(o_2(x2, y2), r_2).</tex>Обозначим точку касания как <tex>c.</tex> Тогда: <tex>\overrightarrow{o_1c} = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot \overrightarrow{o_1o_2}, \\\overrightarrow{o_1o_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \\c_x = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot (x_2 - x_1) + x_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot x_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot x_1\\c_y = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot (y_2 - y_1) + y_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot y_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot y_1</tex> Обозначим  <tex> v = (b - a) \times (c - a) = \\= (b_x - a_x) (\frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot y_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot y_1 - a_y) - \\- (b_y - a_y) (\frac{r_1}{r_1 + r_2} \cdot x_2 + \frac{r_2}{r_1 + r_2} \cdot x_1 - a_x) = \\</tex> <tex dpi = 140> = \frac{(b_x - a_x) (r_1 y_2 + r_2 y_1 - a_y (r_1 + r_2)) - (b_y - a_y) (r_1 x_2 + r_2 x_1 - a_x (r_1 + r_2))}{r_1 + r_2}</tex>.  Так как <tex> r_1 + r_2 > 0, </tex> то мы можем оценивать знак выражения <tex>k = v \cdot (r_1 + r_2)</tex> <tex>k = (b_x - a_x) (r_1 (y_2 - a_y) + r_2 (y_1 - a_y)) - (b_y - a_y) (r_1 (x_2 - a_x) + r_2 (x_1 - a_x)) = \\= (b_x - a_x) r_1 (y_2 - a_y) + (b_x - a_x) r_2 (y_1 - a_y) - \\- (b_y - a_y) r_1 (x_2 - a_x) - (b_y - a_y) r_2 (x_1 - a_x)</tex> Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике. Для сокращения обозначим произведение <tex>(1 + \delta_{p_1}) \cdot (1 + \delta_{p_2}) \cdot \ldots \cdot (1 + \delta_{p_n})</tex> за <tex>F(p_1, p_2, \ldots , p_n)</tex> <tex>\tilde{k} = (b_x \ominus a_x) \otimes (r_1 \otimes (y_2 \ominus a_y) \oplus r_2 \otimes (y_1 \ominus a_y)) \ominus \\ \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (r_1 \otimes (x_2 \ominus a_x) \oplus r_2 \otimes (x_1 \ominus a_x)) = \\= [(b_x - a_x) (r_1 (y_2 - a_y)F(1, 2) + r_2 (y_1 - a_y)F(3, 4))F(5, 6, 7) - \\- (b_y - a_y) (r_1 (x_2 - a_x)F(8, 9) + r_2 (x_1 - a_x)F(10, 11))F(12, 13, 14)]F(15) = \\= (b_x - a_x) r_1 (y_2 - a_y)F(1, 2, 5, 6, 7, 15) + \\+ (b_x - a_x) r_2 (y_1 - a_y)F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - \\- (b_y - a_y) r_1 (x_2 - a_x)F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - \\- (b_y - a_y) r_2 (x_1 - a_x)F(10, 11, 12, 13, 14, 15)</tex>  <tex> |\delta_i| \leq \varepsilon_m </tex> Заметим, что <tex> k\approx \tilde{k} </tex> Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> \epsilon = |k - \tilde{k}|. </tex>  <tex> |k - \tilde{k}| = \\=|r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) + \\+ r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) - \\- r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) - \\- r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) - \\- r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) \cdot F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - \\- r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) \cdot F(3, 4, 5, 6, 7, 15) + \\+ r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) \cdot F(8, 9, 12, 13, 14, 15) + \\+ r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) \cdot F(10, 11, 12, 13, 14, 15)| = \\= |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y) \cdot (F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - 1) - \\- r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y) \cdot (F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - 1) + \\+ r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x) \cdot (F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - 1) + \\+ r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x) \cdot (F(10, 11, 12, 13, 14, 15) - 1)| \leq \\\leq |r_1(b_x - a_x)(y_2 - a_y)| \cdot |(F(1, 2, 5, 6, 7, 15) - 1)| + \\+ |r_2(b_x - a_x)(y_1 - a_y)| \cdot |(F(3, 4, 5, 6, 7, 15) - 1)| + \\+ |r_1(b_y - a_y)(x_2 - a_x)| \cdot |(F(8, 9, 12, 13, 14, 15) - 1)| + \\+ |r_2(b_y - a_y)(x_1 - a_x)| \cdot |(F(10, 11, 12, 13, 14, 15) - 1)| = \\</tex>  Пусть <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|).</tex> Получаем, что <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4). </tex> <tex>\tilde {t} = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)|) (1 + \delta_7) \geq \\\geq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| (1 - \varepsilon_m)^4 + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| (1 - \varepsilon_m)^4 = \\= (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) (1 - \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 - \varepsilon_m)^4</tex>  Итого: <tex> t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^4} = \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) </tex> <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) </tex>
Анонимный участник
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/17907»

Навигация