== Подгруппа {{Определение|definition=Если непустое подмножество <tex>H</tex> элементов [[группа|группы]] <tex>G</tex> оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то <tex>H</tex> образует группу и называется '''подгруппой''' группы <tex>G</tex>::<tex>\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H</tex>:<tex>\forall a\in H : a^{-1}\in H</tex>:<tex>\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H</tex>}}
Если не пустое подмножество === Примеры ===* Подмножество <mathtex>Hn\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}</mathtex> элементов группы является подгруппой в <tex>\mathbb{Z}<math/tex>Gдля любого <tex>n\in\mathbb{N}</mathtex> оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элементасложения.* Группа <tex>G=\{m\vert m\in\mathbb{Z}\</tex>, то <mathtex>m</tex> <tex>mod</tex> <tex>H5=0\}</mathtex> образует группу и называется является подгруппой группы в <mathtex>G\mathbb{Z}</mathtex>:.
<math>\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H</math>=== Свойства ===* [[Теорема о подгруппах циклической группы|Все подгруппы циклической группы являются циклическими]].
== Нормальные подгруппы =={{Main|нормальная подгруппа}}{{Определение|definition=[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если <mathtex>\forall ax\in G,\,\forall h\in H : ax\cdot h\cdot x^{-1}\in H</mathtex>}}
<math>\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H</math>[[Категория: Теория групп]]
