Бюрократы, editor, Администраторы
422
правки
Изменения
→Нормальные подгруппы
{{Определение
|definition=
Если непустое подмножество <tex>H</tex> элементов [[группа|группы ]] <tex>G</tex> оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то <tex>H</tex> образует группу и называется '''подгруппой''' группы <tex>G</tex>:
:<tex>\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H</tex>
:<tex>\forall a\in H : a^{-1}\in H</tex>
:<tex>\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H</tex>
}}
=== Примеры ===
* Подмножество <tex>n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}</tex> является подгруппой в <tex>\mathbb{Z}</tex> для любого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> относительно операции сложения.
* Группа <tex>G=\{m\vert m\in\mathbb{Z}\</tex>, <tex>m</tex> <tex>mod</tex> <tex>5=0\}</tex> является подгруппой в <tex>\mathbb{Z}</tex>.
=== Свойства ===
* [[Теорема о подгруппах циклической группы|Все подгруппы циклической группы являются циклическими]].
== Нормальные подгруппы ==
{{Main|нормальная подгруппа}}
{{Определение
|definition=
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если <tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>
}}
[[Категория: Теория групп]]
