Подгруппа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Подгруппа)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 20 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Подгруппа ==
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
Если непустое подмножество <tex>H</tex> элементов [[группа|группы]] <tex>G</tex> оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то <tex>H</tex> образует группу и называется '''подгруппой''' группы <tex>G</tex>:
 +
:<tex>\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H</tex>
 +
:<tex>\forall a\in H : a^{-1}\in H</tex>
 +
:<tex>\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H</tex>
 +
}}
  
Если непустое подмножество <tex>H</tex> элементов группы <tex>G</tex> оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то <tex>H</tex> образует группу и называется '''подгруппой''' группы <tex>G</tex>:
+
=== Примеры ===
 +
* Подмножество <tex>n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}</tex> является подгруппой в <tex>\mathbb{Z}</tex> для любого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> относительно операции сложения.
 +
* Группа <tex>G=\{m\vert m\in\mathbb{Z}\</tex>, <tex>m</tex> <tex>mod</tex> <tex>5=0\}</tex> является подгруппой в <tex>\mathbb{Z}</tex>.
  
<tex>\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H</tex>
+
=== Свойства ===
 
+
* [[Теорема о подгруппах циклической группы|Все подгруппы циклической группы являются циклическими]].
<tex>\forall a\in H : a^{-1}\in H</tex>
 
 
 
<tex>\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H</tex>
 
  
 +
== Нормальные подгруппы ==
 +
{{Main|нормальная подгруппа}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если <tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>
 +
}}
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:06, 4 сентября 2022

Определение:
Если непустое подмножество [math]H[/math] элементов группы [math]G[/math] оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то [math]H[/math] образует группу и называется подгруппой группы [math]G[/math]:
[math]\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H[/math]
[math]\forall a\in H : a^{-1}\in H[/math]
[math]\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H[/math]


Примеры

  • Подмножество [math]n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{Z}[/math] для любого [math]n\in\mathbb{N}[/math] относительно операции сложения.
  • Группа [math]G=\{m\vert m\in\mathbb{Z}\[/math], [math]m[/math] [math]mod[/math] [math]5=0\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{Z}[/math].

Свойства

Нормальные подгруппы

Основная статья: нормальная подгруппа
Определение:
Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] называется нормальной подгруппой, если [math]\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H[/math]