Подсчет деревьев — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Header refactoring)
(Marked trees: definition added)
Строка 42: Строка 42:
  
 
= Помеченные деревья =
 
= Помеченные деревья =
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Помеченное дерево''' порядка n - дерево порядка <math>n</math>, вершинам которого взаимно однозначно соответствуют числа от 1 до n.
 +
}}
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Кэли
 
|author=Кэли

Версия 12:51, 9 июня 2020

Эта статья находится в разработке!

Описание всех используемых далее комбинаторных объектов можно найти в статье "конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт".

Непомеченные деревья

Бинарные деревья

Утверждение:
Число непомеченных бинарных деревьев: [math]T_n = C_{n}[/math] ([math]n[/math]-ое число Каталана).
[math]\triangleright[/math]

Устройство бинарного дерева в терминах комбинаторных классов выражается следующим образом [math]T = \varepsilon + z\times T\times T[/math].
В терминах производящих функций эта конструкция выглядит следующим образом [math]T(s) = 1 + s{T(s)}^2[/math]. Решением данного уравнения будет [math]T(s) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4s}}{2s}[/math]. Тогда:

[math]T_{n}={Pair(T, \; T)}_{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}T_{i}T_{n-i-1}=C_{n}[/math], где [math]C_{n}[/math][math]n[/math]-ое число Каталана.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Производящая функция числа непомеченных полных бинарных деревьев: [math]T(s) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4s^2}}{2s}[/math].
[math]\triangleright[/math]

Устройство бинарного дерева в терминах комбинаторных классов выражается следующим образом [math]T = z + z\times T\times T[/math].
В терминах производящих функций эта конструкция выглядит следующим образом [math]T(s) = s + s{T(s)}^2[/math].

Решением данного уравнения будет [math]T(s) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4s^2}}{2s}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Подвешенные непомеченные деревьея с порядком на детях

Пусть [math]T_{n}[/math] — количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами. [math]S=Seq(A)[/math] — множество всех последовательностей из данных деревьев. [math]S_{n}[/math] — количество последовательностей с суммарным количество вершин [math]n[/math]. Чтобы получить дерево из [math]n[/math] вершин, достаточно взять [math]1[/math] вершину, и подвесить к ней последовательность деревьев с суммарным количеством вершин [math]n-1[/math]. Тогда:

[math]T_{n}=S_{n-1}[/math].
[math]S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} T_{i} S_{n-i}=\sum\limits_{i=1}^{n} S_{i-1} S_{n-i}=\sum\limits_{i=0}^{n-1} S_{i} S_{n-i-1}=C_{n}[/math], где [math]C_{n}[/math][math]n[/math]-ое число Каталана.

Sequence of rooted Trees.png Ordered Rooted Trees.png

Подвешенные непомеченные деревья без порядка на детях

Пусть [math]T_{n}[/math] — количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами. [math]F=MSet(T)[/math] — множество всех лесов из данных деревьев, так как лес можно интерпретировать как мультимножество из деревьев. [math]F_{n}=f_{n,n}[/math] — количество лесов с суммарным количество вершин [math]n[/math]. [math]f_{n, k}[/math] — количество таких лесов из [math]n[/math] вершин, что деревья в них содержат не более чем [math]k[/math] вершин. Чтобы получить дерево из [math]n[/math] вершин, достаточно взять [math]1[/math] вершину и подвесить к ней лес деревьев с суммарным количеством вершин [math]n-1[/math]. Тогда:

[math]T_{n}=F_{n-1}[/math].
[math]F_{n}=f_{n, n}[/math].
[math]f{n,k}=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \binom{T_{k}+i-1}{i} s_{n-ik, k-1}[/math].

Количество таких деревьев с [math]n[/math] вершинами образуют последовательность A000081[1].

Forests.png Rooted Trees.png

Помеченные деревья

Определение:
Помеченное дерево порядка n - дерево порядка [math]n[/math], вершинам которого взаимно однозначно соответствуют числа от 1 до n.


Теорема (Кэли):
Число помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами равно [math]n^{n - 2}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Можно доказать формулу двумя способами.

Первый способ.

Так как между помеченными деревьями порядка [math]n[/math] и последовательностями длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] существует биекция (Код Прюфера), то количество помеченных деревьев совпадает с количеством последовательностей длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n = n^{n - 2}[/math].

Второй способ.

С помощью матрицы Кирхгофа для полного графа на [math]n[/math] вершинах. Число помеченных деревьев порядка [math]n[/math], очевидно, равно числу остовов в полном графе [math]K_n[/math], которое есть [math]n^{n-2}[/math] по следствию теоремы Кирхгофа.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Число помеченных корневых деревьев с [math]n[/math] вершинами есть [math]T_n = n^{n - 2}[/math].
[math]\triangleright[/math]

Данное утверждение является следствием теоремы Кэли.
Обозначим через [math]T_n[/math] число корневых помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами, т.е. число помеченных деревьев, в которых одна из вершин выделена и названа корнем.

Число корневых помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами в [math]n[/math] раз больше числа помеченных деревьев с [math]n[/math] вершинами: в качестве корня можно выбрать любую из [math]n[/math] различных вершин.
[math]\triangleleft[/math]

Подвешенные помеченные деревья с порядком на детях

Утверждение:
Число помеченных корневых деревьев с [math]n[/math] вершинами с порядком на детях есть [math]T_n = n!\cdot C_n[/math].
[math]\triangleright[/math]

Как и в непомеченном случае, структура объекта остается неизменной:

[math]T = U\times Seq(T)[/math]

Производящая функция будет иметь вид:

[math]T(s) = s\dfrac{1}{1 - T(s)} \iff T(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1 - \sqrt{1 - 4s}}{2} \iff T(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{C_nn!}{n!}s^n[/math]
Таким образом, число помеченных корневых деревьев с [math]n[/math] с порядком на детях вершинами есть [math]T_n = n!\cdot C_n[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Подвешенные помеченные деревья без порядка на детях

Утверждение:
Как и в непомеченном случае, структура объекта остается неизменной: [math]T = U\times Set(T)[/math].
Производящая функция будет иметь вид: [math]T(s) = s\cdot e^{T(s)}[/math]

Дополнительно

Теорема (Скойнс):
Число 2-раскрашенных деревьев с [math]m[/math] вершинами одного цвета и [math]n[/math] вершинами другого равно [math]S_n = n^{m - 1} m^{n - 1}[/math].

См.также

Литература