Изменения

'''Иерархия графов-представителейИерархический маленький мир''' (англ. ''Hierarchical Navigable Small World graphs'') {{---}} структура данных, позволяющая эффективно искать <tex>k</tex> почти что ближайших соседей на больших множествах вершин.Поиск ближайших соседей нужен в задачах [[Общие понятия|классификации]] и [[кластеризация|кластеризации]]. По своей концепции напоминает [[список с пропусками]]. == Применение ==Представим себе ситуацию:* У социальной сети есть <tex>10^{11}</tex> пользовательских фотографий с отмеченными лицами на них.* По новой фотографии требуется быстро узнать кто на ней и предложить пользователю отметить этого человека. Возможный процесс:# Обучаем [https://github.com/davidsandberg/facenet FaceNet] выдавать <tex>128</tex>-мерные вектора по изображению лица, такие, что у фотографий одного человека похожие значения векторов.# Добавляем <tex>10^{11}</tex> векторов в иерархический маленький мир.# При добавлении новой фотографии, вычисляем соответствующий лицу вектор.# Ищем <tex>k</tex> его ближайших соседей.# Классифицируем лицо с использованием [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей#Использование ядер сглаживания|ядер сглаживания]].# Если пользователь подтвердил нашу догадку, добавляем этот вектор в иерархический маленький мир. ==Маленький мир==[[Файл:SmallWorld_Greedy.png|мини|500px|Жадный поиск ближайшего соседа. Чёрные ребра {{---}} короткие связи с соседями в небольшом радиусе <tex>R</tex>, красные рёбра {{---}} длинные связи, созданные по какой-то эвристике, обеспечивающие логарифмическое мат. ожидание длины пути.[https://www.hse.ru/mirror/pubs/lib/data/access/ram/ticket/30/1551306415713d428dca7fd05f3d108fe8e66042c4/Approximate%20nearest%20neighbor%20algorithm%20based%20on%20navigable%20(Information%20Systems).pdf Оригинал]]]'''Маленький мир''' (англ. ''Small World'') {{---}} граф, в котором мат. ожидание кратчайшего пути между двумя случайно выбранными вершинами растёт пропорционально <tex>\log{N}</tex>. Но при этом средняя степень вершины мала. Для маленького мира на точках в Евклидовом пространстве жадный поиск <tex>k</tex> ближайших соседей будет выглядеть так: '''knn'''(V, E, request, m, k)''':''' W = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font> C = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Вершины, которые предстоит посетить. </font> V = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Посещённые вершины. </font> '''for''' i = 1 '''to''' m C = С <tex>\bigcup</tex> <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> G TN = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Ближайшие вершины в этом проходе.</font> '''while''' ''true'' u = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> C, |q - q1| <= |q - q2|} <font color="green">// Ближайшая к q вершина из C. </font> C = C <tex>\setminus</tex> u '''if''' u дальше чем k-й элемент W '''break''' '''for''' e: (u, e) '''in''' G '''if''' e <tex>{\notin}</tex> V C = C <tex>\bigcup</tex> e V = V <tex>\bigcup</tex> e TN = TN <tex>\bigcup</tex> e W = W <tex>\bigcup</tex> TN '''return''' k ближайших к q вершин из W Расстояние между вершинами графа может измеряться [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей#Использование различных метрик расстояния|различными метриками]]. <br/>Очевидный недостаток этого алгоритма {{---}} опасность свалиться в локальный минимум, остановившись в каком-то кластере. С увеличением числа <tex>m</tex>, вероятность такого застревания экспоненциально падает. ==Описание структуры=='''Иерархический Маленький мир''' {{---}} слоистая структура графов. На нулевом слое представлены все <tex>N</tex> вершин из исходной выборки. Вершина, присутствующая на уровне <tex>L</tex> так же присутствует на уровне <tex>L + 1</tex> с вероятностью <tex>P</tex>. Т.е. кол-во слоёв растет как <tex>O(\log N)</tex>. Количество соседей каждой вершины на каждом уровне ограниченно константой, что позволяет делать запросы на добавление и удаление вершины за <tex>O(\log N)</tex>.{|align="center" |-valign="top" |[[Файл:HNSW.png|мини|500px|Иерархический маленький мир. [https://arxiv.org/abs/1603.09320 Источник]]] |} ==Операции над структурой== ===Поиск ближайших соседей в слое===Жадно идём по уровню в сторону запроса. '''searchLayer'''(q, ep, ef, layer)''':''' <font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, входные точки ep, искомое количество ближайших соседей ef, номер слоя layer.</font> <font color="green">// Возвращает: ef ближайших соседей q в слое layer.</font> W = {ep} <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font> C = {ep} <font color="green">// Вершины, которые предстоит посетить. </font> V = {ep} <font color="green">// Посещённые вершины. </font> '''while''' C != <tex>\emptyset</tex> u = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> C, |q - q1| <= |q - q2|} <font color="green">// Ближайшая к q вершина из C. </font> f = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> W, |q - q1| >= |q - q2|} <font color="green">// Самая дальняя от q вершина из W. </font> '''if''' |u - q| > |f - q| '''break''' <font color="green">// Мы в локальном минимуме. </font> '''for''' e : (u, e) '''in''' G '''if''' e <tex>{\notin}</tex> V V = V <tex>\bigcup</tex> e f = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> W, |q - q1| >= |q - q2|} <font color="green">// Самая дальняя от q вершина из W. </font> '''if''' |e - q| < |f - q| or |W| < ef C = C <tex>\bigcup</tex> e W = W <tex>\bigcup</tex> e if |W| > ef W = W \ f '''return''' W ===Поиск ближайших соседей во всей структуре===[[Файл:HnswSearch.png|мини|500px|Жадный поиск вершины.[https://arxiv.org/abs/1603.09320 Оригинал]]]# Идём с верхнего уровня до первого:## Жадно ищем ближайшую к <tex>q</tex> вершину на текущем уровне.## Спускаемся в соответствующую соседу вершине на уровень ниже.# На нулевом уровне жадно ищем <tex>k</tex> ближайших соседей. '''knn'''(hnsw, q, k, ef)''':''' <font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, искомое количество ближайших соседей k, количество кандидатов при поиске ef. </font> <font color="green">// Возвращает: k ближайших соседей q. </font> W = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font> mL = |hnsw| - 1 ep = <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> hnsw[mL] '''for''' level = mL to 1 W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef=1, level) <font color="green">// На каждом уровне, кроме нижнего мы ищем всего одну ближайшую вершину. </font> ep = W W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef, lc=0) '''return''' k ближайших к q вершин из W ===Вставка элемента===# Случайным образом выбираем максимальный слой, на котором будет представлена <tex>q</tex>.# На каждом уровне, где будет представлена <tex>q</tex>, сверху вниз:## Жадно ищем <tex>m</tex> ближайших к <tex>q</tex> вершин.## Добавляем связи <tex>q</tex> с ними.## Удаляем лишние связи у новообразовавшихся соседей. '''insert'''(hnsw, q, m, mMax, ef, mL)''':''' <font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос на добавление q, желаемое количество связей m, максимальное количество связей вершины </font> <font color="green">// на одном слое mMax, количество кандидатов при поиске ef, коэффициент выбора высоты mL. </font> <font color="green">// Возвращает: hnsw с вставленным элементом q. </font> W = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font> mL = |hnsw| - 1 ep = <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> hnsw[mL] qL = -ln(rand(eps, 1.0)) * mL <font color="green">// Верхний слой для вершины q. </font> '''for''' level = mL to qL + 1 W = searchLayer(q, ep, ef=1, level) ep = W '''for''' level = min(mL, qL) to 0 W = searchLayer(q, ep, ef, level) neighbours = M ближайших к q вершин из W '''for''' n <tex>\login</tex> neighbours: <font color="green">// Добавляем двусторонние связи между n и q. </font> hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\bigcup</tex> (n, q) hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\bigcup</tex> (q, n) nNeighbours = {v| (v, n) '''in''' hnsw[level]} <font color="green">// Ищем всех соседей n на уровне level. </font> <font color="green">// Убираем лишние связи, если требуется. </font> '''if''' nNeighbours.Count() > mMax <font color="green">// Самая дальняя от n вершина, смежняя с ней. </font> v = {q1 | (q2, n) <tex>\in</tex> nNeighbours & <tex>\forall</tex>q2 <tex>\in</tex> hnsw[level], |q - q1| >= |q - q2|} hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\setminus</tex> (n, v) hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\setminus</tex> находить K почти что (v, n) ep = W '''if''' qL > mL '''for''' level = mL to qL hnsw.append({q, {}}) == Практическое использование ==В библиотеке [https://github.com/nmslib/hnswlib Hnswlib] есть реализация иерархического маленького мира. Эта библиотека написана на C++, с биндингами на python.Пример использования: '''import''' hnswlib '''import''' numpy '''as''' np dim = 128 num_elements = 10000 <font color="green"># Создаём тестовые данные.</font> data = np.float32(np.random.random((num_elements, dim))) data_labels = np.arange(num_elements) <font color="green"># Создаём иерархический маленький мир в L2.</font> <font color="green"># Возможные метрики {{---}} l2, cosine, ip (L2, косинус угла между векторами, скалярное произведение).</font> p = hnswlib.Index(space = 'l2', dim = dim) <font color="green"># Инициализируем структуру.</font> p.init_index(max_elements = num_elements, ef_construction = 200, M = 16) <font color="green"># Добавляем данные (можно вызывать много раз).</font> p.add_items(data, data_labels) <font color="green"># Настраиваем качество, выставляя ef:</font> p.set_ef(50) <font color="green"># ef должно быть > k</font> <font color="green"># Делаем запрос.</font> <font color="green"># k - количество ближайших вершин</font> labels, distances = p.knn_query(data, k = 1) == См. также ==* [[Общие понятия]]* [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей]]* [[Список с пропусками]] == Источники информации ==* [https://arxiv.org/abs/1603.09320 Yu. A. Malkov, D. A. Yashunin {{---}} Efficient and robust approximate nearest neighbor search using Hierarchical Navigable Small World graphs]* [https://ru.wikipedia. По своей концепции напоминает org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D1%80_%D1%82%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD_(%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84) Википедия {{---}} Мир тесен (граф)]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Small-world_network Wikipedia {{---}} Small-world network]* [список https://github.com/sgjurano/ysda-celebrity-faces Поиск знаменитостей на фотографии с пропускамипомощью иерархического маленького мира]* [https://m.habr.com/ru/company/mailru/blog/338360/ Статья от Mail.ru об использовании иерархического маленького мира] [[Категория: Машинное обучение]]