Изменения
→Операции над структурой
'''Иерархия графов-представителейИерархический маленький мир''' (англ. ''Hierarchical Navigable Small World graphs'') {{---}} структура данных, позволяющая эффективно находить K искать <tex>k</tex> почти что ближайших соседейна больших множествах вершин. По своей концепции напоминает Поиск ближайших соседей нужен в задачах [[Общие понятия|классификации]] и [[список с пропускамикластеризация|кластеризации]].
==Описание структуры==
'''Иерархический Маленький мир''' {{---}} слоистая структура графов. На нулевом слое представлены все <tex>N</tex> вершин из исходной выборки. Вершина, присутствующая на уровне <tex>L</tex> так же присутствует на уровне <tex>L + 1</tex> с вероятностью <tex>P</tex>. Т.е. кол-во слоёв растет как <tex>O(\log N)</tex>. Количество соседей каждой вершины на каждом уровне ограниченно константой, что позволяет делать запросы на добавление и удаление вершины за <tex>O(\log N)</tex>.
{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл:HNSW.png|мини|500px|Иерархический маленький мир. [https://arxiv.org/abs/1603.09320 Источник]]]
|}
==Операции над структурой==
===Поиск ближайших соседей в слое===
Жадно идём по уровню в сторону запроса.
'''searchLayer'''(q, ep, ef, layer)''':'''
<font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, входные точки ep, искомое количество ближайших соседей ef, номер слоя layer.</font>
<font color="green">// Возвращает: ef ближайших соседей q в слое layer.</font>
W = {ep} <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font>
C = {ep} <font color="green">// Вершины, которые предстоит посетить. </font>
V = {ep} <font color="green">// Посещённые вершины. </font>
'''while''' C != <tex>\emptyset</tex>
u = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> C, |q - q1| <= |q - q2|} <font color="green">// Ближайшая к q вершина из C. </font>
f = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> W, |q - q1| >= |q - q2|} <font color="green">// Самая дальняя от q вершина из W. </font>
'''if''' |u - q| > |f - q|
'''break''' <font color="green">// Мы в локальном минимуме. </font>
'''for''' e : (u, e) '''in''' G
'''if''' e <tex>{\notin}</tex> V
V = V <tex>\bigcup</tex> e
f = {q1 | <tex>\forall</tex> q2 <tex>\in</tex> W, |q - q1| >= |q - q2|} <font color="green">// Самая дальняя от q вершина из W. </font>
'''if''' |e - q| < |f - q| or |W| < ef
C = C <tex>\bigcup</tex> e
W = W <tex>\bigcup</tex> e
if |W| > ef
W = W \ f
'''return''' W
===Поиск ближайших соседей во всей структуре===
[[Файл:HnswSearch.png|мини|500px|Жадный поиск вершины.
[https://arxiv.org/abs/1603.09320 Оригинал]]]
# Идём с верхнего уровня до первого:
## Жадно ищем ближайшую к <tex>q</tex> вершину на текущем уровне.
## Спускаемся в соответствующую соседу вершине на уровень ниже.
# На нулевом уровне жадно ищем <tex>k</tex> ближайших соседей.
'''knn'''(hnsw, q, k, ef)''':'''
<font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос q, искомое количество ближайших соседей k, количество кандидатов при поиске ef. </font>
<font color="green">// Возвращает: k ближайших соседей q. </font>
W = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font>
mL = |hnsw| - 1
ep = <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> hnsw[mL]
'''for''' level = mL to 1
W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef=1, level) <font color="green">// На каждом уровне, кроме нижнего мы ищем всего одну ближайшую вершину. </font>
ep = W
W = searchLayer(hnsw, q, ep, ef, lc=0)
'''return''' k ближайших к q вершин из W
===Вставка элемента===
# Случайным образом выбираем максимальный слой, на котором будет представлена <tex>q</tex>.
# На каждом уровне, где будет представлена <tex>q</tex>, сверху вниз:
## Жадно ищем <tex>m</tex> ближайших к <tex>q</tex> вершин.
## Добавляем связи <tex>q</tex> с ними.
## Удаляем лишние связи у новообразовавшихся соседей.
'''insert'''(hnsw, q, m, mMax, ef, mL)''':'''
<font color="green">// Входные данные: иерархия графов hnsw, запрос на добавление q, желаемое количество связей m, максимальное количество связей вершины </font>
<font color="green">// на одном слое mMax, количество кандидатов при поиске ef, коэффициент выбора высоты mL. </font>
<font color="green">// Возвращает: hnsw с вставленным элементом q. </font>
W = <tex>\emptyset</tex> <font color="green">// Ближайшие к q вершины. </font>
mL = |hnsw| - 1
ep = <tex>random_v</tex> v <tex>\in</tex> hnsw[mL]
qL = -ln(rand(eps, 1.0)) * mL <font color="green">// Верхний слой для вершины q. </font>
'''for''' level = mL to qL + 1
W = searchLayer(q, ep, ef=1, level)
ep = W
'''for''' level = min(mL, qL) to 0
W = searchLayer(q, ep, ef, level)
neighbours = M ближайших к q вершин из W
'''for''' n <tex>\in</tex> neighbours:
<font color="green">// Добавляем двусторонние связи между n и q. </font>
hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\bigcup</tex> (n, q)
hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\bigcup</tex> (q, n)
nNeighbours = {v| (v, n) '''in''' hnsw[level]} <font color="green">// Ищем всех соседей n на уровне level. </font>
<font color="green">// Убираем лишние связи, если требуется. </font>
'''if''' nNeighbours.Count() > mMax
<font color="green">// Самая дальняя от n вершина, смежняя с ней. </font>
v = {q1 | (q2, n) <tex>\in</tex> nNeighbours & <tex>\forall</tex>q2 <tex>\in</tex> hnsw[level], |q - q1| >= |q - q2|}
hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\setminus</tex> (n, v)
hnsw[level] = hnsw[level] <tex>\setminus</tex> (v, n)
ep = W
'''if''' qL > mL
'''for''' level = mL to qL
hnsw.append({q, {}})
== Практическое использование ==
В библиотеке [https://github.com/nmslib/hnswlib Hnswlib] есть реализация иерархического маленького мира. Эта библиотека написана на C++, с биндингами на python.
Пример использования:
'''import''' hnswlib
'''import''' numpy '''as''' np
dim = 128
num_elements = 10000
<font color="green"># Создаём тестовые данные.</font>
data = np.float32(np.random.random((num_elements, dim)))
data_labels = np.arange(num_elements)
<font color="green"># Создаём иерархический маленький мир в L2.</font>
<font color="green"># Возможные метрики {{---}} l2, cosine, ip (L2, косинус угла между векторами, скалярное произведение).</font>
p = hnswlib.Index(space = 'l2', dim = dim)
<font color="green"># Инициализируем структуру.</font>
p.init_index(max_elements = num_elements, ef_construction = 200, M = 16)
<font color="green"># Добавляем данные (можно вызывать много раз).</font>
p.add_items(data, data_labels)
<font color="green"># Настраиваем качество, выставляя ef:</font>
p.set_ef(50) <font color="green"># ef должно быть > k</font>
<font color="green"># Делаем запрос.</font>
<font color="green"># k - количество ближайших вершин</font>
labels, distances = p.knn_query(data, k = 1)
== См. также ==
* [[Общие понятия]]
* [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей]]
* [[Список с пропусками]]
== Источники информации ==
* [https://arxiv.org/abs/1603.09320 Yu. A. Malkov, D. A. Yashunin {{---}} Efficient and robust approximate nearest neighbor search using Hierarchical Navigable Small World graphs]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D1%80_%D1%82%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD_(%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84) Википедия {{---}} Мир тесен (граф)]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Small-world_network Wikipedia {{---}} Small-world network]
* [https://github.com/sgjurano/ysda-celebrity-faces Поиск знаменитостей на фотографии с помощью иерархического маленького мира]
* [https://m.habr.com/ru/company/mailru/blog/338360/ Статья от Mail.ru об использовании иерархического маленького мира]
[[Категория: Машинное обучение]]
