Изменения

|definition = Задана отсортированная двумерная матрица (матрица, для которой выполнено следующее условие: <tex> a[row][col] \leqslant a[row + 1][col], a[row][col] \leqslant a[row][col + 1] </tex> ), состоящая из <tex>n </tex> строк и <tex>m </tex> столбцов. Необходимо найти расположение указанного элемента в матрице или определить, что данный элемент в матрице отсутствует.

Данный способ решения использует наивное решение за <math>n \cdot m</math>, улучшенное с помощью [[Целочисленный двоичный поиск|двоичного поиска]]. Для этого в каждой строке запускается двоичный поиск. Время работы — <tex>O(n \cdot \log(m))</tex>.

Время работы может быть улучшено до <tex>O(\min(n, m) \cdot \log(\max(n \cdot m))</tex>. Для этого необходимо модифицировать алгоритм так, чтобы в том случае, если столбцов больше чем строк, он бы запускал двоичный поиск по строкам, если строк больше — наоборот. Существует еще один способ оптимизации. Рассмотрим случай, когда используется двоичный поиск по строке. Достаточно очевидно, что искомое число может находится только в тех строках, где первый элемент меньше искомого, а последний — больше. Перед началом поиска можно исключить два прямоугольных участка матрицы: первый состоит из строк, у которых последний элемент меньше искомого; второй состоит из строк, у которых первый элемент больше искомого. Используя двоичный поиск, можно найти границы этих участков за <tex>O(\log(n))</tex> для столбцов и за <tex>O(\log(m))</tex> строк. 

Существует еще один способ оптимизации[[Файл:find13. Рассмотрим случай, когда используется двоичный поиск по строке. Достаточно очевидно, что искомое число может находится только png|320px|thumb|right|Пример поиска числа 13 в тех строках, где первый элемент меньше искомого, а последний - больше. Перед началом поиска можно исключить 2 прямоугольных участка матрицы: первый состоит из строк, у которых последний элемент меньше искомого; второй состоит из строк, у которых первый элемент больше искомого. Используя двоичный поиск, можно найти границы этих участков за <tex>O(log(n))</tex> для столбцов и за <tex>O(log(m))</tex> строк.матрице]]

В данном решении мы начинаем поиск из правого верхнего угла и движемся к искомому элементу. Идея алгоритма в том, что если текущий элемент меньше необходимого, то мы сдвигаемся на одну строку вниз. Если он больше, то мы сдвигаемся на одну колонку вправовлево. === Доказательство корректности ===

ДокажемВ определенный момент времени алгоритм либо найдет ячейку с искомым элементом (значит, элемент найден), что каждый ход либо в соседнюю ячейку отсекает только те столбцы или строкиматрице не останется тех элементов, которые точно не содержат искомый элемент. Назовем ход корректным, если он отсекает только те строки или колонкибыли отсечены (значит, элемента в которых точно матрице нет искомого элемента. Пусть первый ход (в правую верхнюю ячейку) корректный (он не отсек ни одной строки или столбца). Пусть предыдущий ход был корректным. Докажем, что следующий ход, выполненный по правилам, будет корректным:Если текущий элемент меньше искомого, то очевидно, что все ячейки левее и выше меньше, чем искомый. Значит, их можно отсечь. Если текущий элемент больше искомого, то очевидно, что все ячейки правее и ниже больше, чем искомый. Значит, их тоже можно отсечь.

'''Pair'''<'''int''', '''int'''> matrixFind('''int'''[N][M] a, '''int''' target): '''if''' (target < a[0][0] || '''or''' target > a[N-1][N-1]) '''return''' false(-1, -1) row = 0 col = N-1 '''while''' (row <= N-1 && '''and''' col >= 0)

'''return''' true(row, col) '''return''' false(-1, -1) ===Оценка времени работы===

Очевидно, что во время работы указатель сдвигается максимум на <tex>n</tex> строк и <tex>m</tex> столбцов. В этом случае время работы составляет <tex>O(n + m)</tex>. == См. также ==* [[Файл:find13.png|320px|thumb|rightЦелочисленный_двоичный_поиск|Пример поиска числа 13 в матрицеЦелочисленный двоичный поиск]]

===Оценка времени работы=Источники информации ==* [http://articles.leetcode.com/2010/10/searching-2d-sorted-matrix.html| Searching a 2D Sorted Matrix часть 1 на Leetcode]* [http://articles.leetcode.com/2010/10/searching-2d-sorted-matrix-part-ii.html| Searching a 2D Sorted Matrix часть 2 на Leetcode]

Очевидно, что во время работы указатель сдвигается максимум на n строк [[Категория: Дискретная математика и m столбцов. В этом случае время работы составляет <tex>O(n + m)</tex>.алгоритмы]][[Категория: Алгоритмы поиска]]