Просмотр исходного текста страницы Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа

Алгоритм Рабина-Карпа предназначен для [[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке#Постановка задачи| поиска подстроки в строке]].
==Метод хеширования==

[[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке]] работает за <tex>O\left(n^2\right)</tex> в худшем случае — слишком долго. Чтобы ускорить этот процесс, можно воспользоваться методом [[Хеш-таблица#Хеширование|хеширования]].
{{Определение
|definition = Пусть дана строка <tex>s[0..n-1]</tex>. Тогда '''полиномиальным хешем''' (англ. ''polynomial hash'') строки <tex>s</tex> называется число <tex>h = \mathrm{hash}(s[0..n-1]) =  p^{0} s[0] + ... + p^{n - 1} s[n-1]</tex>, где <tex>p</tex> — некоторое простое число, а <tex>s[i]</tex> <tex>{-}</tex> код <tex>i</tex>-ого символа строки <tex>s</tex>.
}}
Проблему переполнения при вычислении хешей довольно больших строк можно решить так <tex>{-}</tex> считать хеши по модулю <tex>r=2^{64}</tex> (или <tex>2^{32}</tex>), чтобы модуль брался автоматически при переполнении типов.

Для работы алгоритма потребуется считать хеш подстроки <tex>s[i..j]</tex>. Делать это можно следующим образом:

Рассмотрим хеш <tex>s[0..j]</tex>:

<tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1] + p^{i} s[i] +...+ p^{j-1} s[j-1] + p^{j} s[j]</tex>

Разобьем это выражение на две части:

<tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = (s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1]) + (p^{i} s[i] +...+ p^{j-1} s[j-1] + p^{j} s[j])</tex>

Вынесем из последней скобки множитель <tex>p^{i}</tex>:

<tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = (s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1]) + p^{i}(s[i] +...+ p^{j-i-1} s[j-1] + p^{j-i} s[j])</tex>

Выражение в первой скобке есть не что иное, как хеш подстроки <tex>s[0..i-1]</tex>, а во второй — хеш нужной нам подстроки <tex>s[i..j]</tex>. Итак, мы получили, что:

<tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = \mathrm{hash}(s[0..i-1]) + p^{i}\mathrm{hash}(s[i..j])</tex>

Отсюда получается следующая формула для <tex>\mathrm{hash}(s[i..j])</tex>:

<tex>\mathrm{hash}(s[i..j]) = (1/p^{i})(\mathrm{hash}(s[0..j]) - \mathrm{hash}(s[0..i-1]))</tex>

Однако, как видно из формулы, чтобы уметь считать хеш для всех подстрок начинающихся с <tex>i</tex>, нужно предпосчитать все <tex>p^{i}</tex> для <tex>i \in [0..n - 1]</tex>. Это займет много памяти. Но поскольку нам нужны только подстроки размером <tex>m</tex> <tex>{-}</tex> мы можем подсчитать хеш подстроки <tex>s[0..m-1]</tex>, а затем пересчитывать хеши для всех <tex>i \in [0..n - m]</tex> за <tex>O(1)</tex> следующим образом:

<tex>\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m - 1]) = (\mathrm{hash}(s[i..i + m - 1]) - p^{m - 1} s[i]) \bmod r</tex>.

<tex>\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m]) = (p \cdot \mathrm{hash}(s[i + 1..i + m - 1]) + s[i + m]) \bmod r</tex>.

Получается : <tex>\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m]) = (p \cdot \mathrm{hash}(s[i..i + m - 1]) - p^{i} s[i] + s[i + m]) \bmod r</tex>.

==Решение==

===Алгоритм===

Алгоритм начинается с подсчета <tex>\mathrm{hash}(s[0..m-1])</tex> и <tex>\mathrm{hash}(p[0..m-1])</tex>, а также с подсчета <tex>p^{m}</tex>, для ускорения ответов на запрос.

Для <tex>i \in [0..n - m]</tex> вычисляется <tex>\mathrm{hash}(s[i..i + m - 1])</tex> и сравнивается с <tex>\mathrm{hash}(p[0..m-1])</tex>. Если они оказались равны, то образец <tex>p</tex> скорее всего содержится в строке <tex>s</tex> начиная с позиции <tex>i</tex>, хотя возможны и ложные срабатывания алгоритма. Если требуется свести такие срабатывания к минимуму или исключить вовсе, то применяют сравнение некоторых символов из этих строк, которые выбраны случайным образом, или применяют явное сравнение строк, как в [[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке|наивном алгоритме поиска подстроки в строке]]. В первом случае проверка произойдет быстрее, но вероятность ложного срабатывания, хоть и небольшая, останется. Во втором случае проверка займет время, равное длине образца, но полностью исключит возможность ложного срабатывания. 

Если требуется найти индексы вхождения нескольких образцов, или сравнить две строки <tex>{-}</tex> выгоднее будет предпосчитать все степени <tex>p</tex>, а также хеши всех префиксов строки <tex>s</tex>.

===Псевдокод===
Приведем пример псевдокода, который находит все вхождения строки <tex>w</tex> в строку <tex>s</tex> и возвращает массив позиций, откуда начинаются вхождения.
 '''vector<int>''' rabinKarp (s : '''string''', w : '''string'''):
    '''vector<int>''' answer
    '''int''' n = s.length
    '''int''' m = w.length
    '''int''' hashS = hash(s[0..m - 1])
    '''int''' hashW = hash(w[0..m - 1])
    '''for''' i = 0 '''to''' n - m
         '''if''' hashS == hashW
              answer.add(i)
         hashS = (p * hashS - p<tex>^{m}</tex> * hash(s[i]) + hash(s[i + m])) '''mod''' r <font color=green>// r — некоторое большое число, p — некоторое просто число</font>
    '''return''' answer

Новый хеш <tex>hashS</tex> был получен с помощью быстрого пересчёта. Для сохранения корректности алгоритма нужно считать, что <tex>s[n + 1]</tex> {{---}} пустой символ.

===Время работы===

Изначальный подсчёт хешей выполняется за <tex>O(m)</tex>. 

Каждая итерация выполняется за <tex>O(1)</tex>, В цикле всего <tex>n - m + 1</tex> итераций.

Итоговое время работы алгоритма <tex>O(n + m)</tex>.

Однако, если требуется исключить ложные срабатывания алгоритма полностью, т.е. придется проверить все полученные позиции вхождения на истинность, то в худшем случае итоговое время работы алгоритма будет <tex>O(n</tex> <tex>\cdot</tex> <tex>m)</tex>.

== Сравнение с другими алгоритмами ==
Преимущества:
* Быстрая скорость работы — <tex>O(n + m)</tex>, где <tex>n</tex> — длина строки, <tex>m</tex> — длина образца;
* Простая и понятная реализация;

Недостатки:
* Возможно подобрать входные данные так, что количество ложных срабатываний будет недопустимо большим;

== См. также ==
*[[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке]]
*[[Поиск наибольшей общей подстроки двух строк с использованием хеширования]]

== Источники информации ==
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 3-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2014. — 1328 с.: ил. — ISBN 978-5-8459-1794-2 (рус.) — страницы 1036–1041.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Поиск подстроки в строке]]
[[Категория: Хеширование]]
[[Категория:Точный поиск]]