Изменения

Алгоритм Рабина — -Карпа — это предназначен для [[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке, используя хеширование#Постановка задачи| поиска подстроки в строке]].==Метод хеширования==

[[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке]] работает за <tex>O\left(n^2\right)</tex> в худшем случае — слишком долго. Чтобы ускорить этот процесс, можно воспользоваться методом [[Хеш-таблица#Хеширование|хеширования]].{{Определение|definition =Пусть дана строка <tex>s[0..n-1]</tex>. Тогда '''полиномиальным хешем''' (англ. ''polynomial hash'') строки <tex>s</tex> называется число <tex>h =\mathrm{hash}(s[0..n-1]) =Метод хеширования== p^{0} s[0] + ... + p^{n - 1} s[n-1]</tex>, где <tex>p</tex> — некоторое простое число, а <tex>s[i]</tex> <tex>{-}</tex> код <tex>i</tex>-ого символа строки <tex>s</tex>.}}Проблему переполнения при вычислении хешей довольно больших строк можно решить так <tex>{-}</tex> считать хеши по модулю <tex>r=2^{64}</tex> (или <tex>2^{32}</tex>), чтобы модуль брался автоматически при переполнении типов.

Выберем полиномиальный Для работы алгоритма потребуется считать хеш - подстроки <tex>hash(s[1i..nj]) = (p^{n - 1} s[1] + ... + p^{0} s[n])</tex> mod <tex>r</tex>, где <tex>p</tex> - . Делать это некоторое простое число, а <tex>r</tex> - некоторое большое число, чтобы было меньше коллизий (обычно берётся <tex>2^{32}</tex> или <tex>2^{64}</tex>, чтобы модуль брался автоматически - при переполнении типов;). Заметим, что если 2 строчки имеют одинаковый хэш, то они в большинстве таких случаев равны.можно следующим образом:

Давайте научимся при удалении первого символа строки и добавлении символа в конец считать Рассмотрим хеш новой строки при помощи хеша изначальной строки за <tex>O(1)s[0..j]</tex>:

<tex>\mathrm{hash}(s[i 0..j]) = s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i + m - 1]) = hash(+ p^{i} s[i] +...i + m p^{j-1} s[j- 1]) - + p^{m - 1j} s[ij]</tex>.

<tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = (s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1]) + (p^{i} s[i] +...+ p^{j-1} s[j-1] + p^{j} s[j])</tex> Вынесем из последней скобки множитель <tex>p^{i}</tex>: <tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = (s[0] + p s[1] +...+ p^{i-1} s[i-1]) + p^{i}(s[i] +...+ p^{j-i-1} s[j-1] + p^{j-i} s[j])</tex> Выражение в первой скобке есть не что иное, как хеш подстроки <tex>s[0..i-1]</tex>, а во второй — хеш нужной нам подстроки <tex>s[i..j]</tex>. Итак, мы получили, что: <tex>\mathrm{hash}(s[0..j]) = \mathrm{hash}(s[0..i-1]) + p^{i}\mathrm{hash}(s[i..j])</tex> Отсюда получается следующая формула для <tex>\mathrm{hash}(s[i..j])</tex>: <tex>\mathrm{hash}(s[i..j]) = (1/p^{i})(\mathrm{hash}(s[0..j]) - \mathrm{hash}(s[0..i-1]))</tex> Однако, как видно из формулы, чтобы уметь считать хеш для всех подстрок начинающихся с <tex>i</tex>, нужно предпосчитать все <tex>p^{i}</tex> для <tex>i \in [0..n - 1]</tex>. Это займет много памяти. Но поскольку нам нужны только подстроки размером <tex>m</tex> <tex>{-}</tex> мы можем подсчитать хеш подстроки <tex>s[0..m-1]</tex>, а затем пересчитывать хеши для всех <tex>i \in [0..n - m]</tex> за <tex>O(1)</tex> следующим образом: <tex>\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m - 1]) = (\mathrm{hash}(s[i..i + m - 1]) - p^{m - 1} s[i]) \bmod r</tex>. <tex>\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m]) = (p \cdot \mathrm{hash}(s[i + 1..i + m - 1]) + s[i + m]) \bmod r</tex>. Получается : <tex>\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m]) = (p \cdot \mathrm{hash}(s[i..i + m - 1]) - p^{mi} s[i] + s[i + m]) \bmod r</tex>. ==Решение==

У нас есть шаблон Алгоритм начинается с подсчета <tex>\mathrm{hash}(s[0..m- 1])</tex> и <tex>\mathrm{hash}(p[10..m-1])</tex>, а также с подсчета <tex>p^{m}</tex>, для ускорения ответов на запрос. Для <tex>i \in [0. У нас есть строка .n - m]</tex> вычисляется <tex>\mathrm{hash}(s[i..i + m - 1])</tex> и сравнивается с <tex>\mathrm{hash}(p[0..nm-1])</tex>. Если они оказались равны, то образец <tex>p</tex> скорее всего содержится в строке <tex>s</tex> начиная с позиции <tex>i</tex>, хотя возможны и ложные срабатывания алгоритма. Если требуется свести такие срабатывания к минимуму или исключить вовсе, то применяют сравнение некоторых символов из этих строк, которые выбраны случайным образом, или применяют явное сравнение строк, как в [[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке|наивном алгоритме поиска подстроки в строке]]. В первом случае проверка произойдет быстрее, но вероятность ложного срабатывания, хоть и небольшая, останется. Во втором случае проверка займет время, равное длине образца, но полностью исключит возможность ложного срабатывания. Мы хотим  Если требуется найти индексы вхождения нескольких образцов, или сравнить две строки <tex>{-}</tex> выгоднее будет предпосчитать все степени <tex>p</tex>, а также хеши всех префиксов строки <tex>s</tex>. ===Псевдокод===Приведем пример псевдокода, который находит все вхождения шаблона строки <tex>w</tex> в строку<tex>s</tex> и возвращает массив позиций, откуда начинаются вхождения. '''vector<int>''' rabinKarp (s : '''string''', w : '''string'''): '''vector<int>''' answer '''int''' n = s.length '''int''' m = w.length '''int''' hashS = hash(s[0..m - 1]) '''int''' hashW = hash(w[0..m - 1]) '''for''' i = 0 '''to''' n - m '''if''' hashS == hashW answer.add(i) hashS = (p * hashS - p<tex>^{m}</tex> * hash(s[i]) + hash(s[i + m])) '''mod''' r <font color=green>// r — некоторое большое число, p — некоторое просто число</font> '''return''' answer Новый хеш <tex>hashS</tex> был получен с помощью быстрого пересчёта. Для сохранения корректности алгоритма нужно считать, что <tex>s[n + 1]</tex> {{---}} пустой символ. ===Время работы=== Изначальный подсчёт хешей выполняется за <tex>O(m)</tex>.

Давайте посчитаем Каждая итерация выполняется за <tex>hashO(s[1..m])</tex> и , В цикле всего <tex>hash(p[n - m + 1..m])</tex>итераций.

И для Итоговое время работы алгоритма <tex>i \in [1..O(n - m + 1]</tex> считаем <tex>hash(s[i..i + m - 1]</tex> - сравниваем с <tex>hash(p[1..m])</tex>. Если они получаются равными - то мы считаем, что подстрока <tex>p</tex> входит в строку <tex>s</tex> (начиная с позиции <tex>i</tex>;) или мы проверяем, что подстрока является шаблоном, для этого выберем случайные символы из строк и сравним их.

Следует предподсчитать Однако, если требуется исключить ложные срабатывания алгоритма полностью, т.е. придется проверить все полученные позиции вхождения на истинность, то в худшем случае итоговое время работы алгоритма будет <tex>O(n</tex> <tex>\cdot</tex> <tex>p^{m})</tex>.

Псевдо-код: '''1:''' function RabinKarp(string s[1..n], string p[1..m]) '''2:''' hp := hash(p[1..m])= Сравнение с другими алгоритмами == '''3:''' h Преимущества:= hash(s[1..m]) '''4:''' for i from 1 to * Быстрая скорость работы — <tex>O(n - + m + 1) '''5:''' if h = hp '''6:''' answer.add(i) '''7:''' h := p </tex>, где <tex>\cdotn</tex> h - — длина строки, <tex>p^{m}</tex>s[i] + s[i + m] '''8:''' if ans.size = 0 '''9:''' return not found— длина образца; '''10:''' else '''11:''' return answer* Простая и понятная реализация;

7 строка была получена с помощью быстрого пересчёта хеша. Мы считаемНедостатки:* Возможно подобрать входные данные так, что <tex>s[n + 1]</tex> - пустой символ.количество ложных срабатываний будет недопустимо большим;

Посчитаем время работы== См.также ==*[[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке]]*[[Поиск наибольшей общей подстроки двух строк с использованием хеширования]]

Изначальный подсчёт хешей == Источники информации ==* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 3- <tex>O(m)</tex>е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2014. — 1328 с.: ил. В цикле всего <tex>n — ISBN 978-5-8459- m + 1</tex> итераций 1794- каждая выполняется за <tex>O2 (1)</tex>рус. Итого - <tex>O(n + m)</tex>— страницы 1036–1041.

== Литература ==[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Поиск подстроки в строке]]Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы[[Категория: построение и анализ. — 2-е изд. — М.Хеширование]][[Категория: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.Точный поиск]]