Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм)
Строка 37: Строка 37:
 
===Реализация===
 
===Реализация===
 
* Начало.
 
* Начало.
* '''Шаг 1'''. Пусть <tex>U</tex> {{---}} корень дерева, в котором лежит <tex>S</tex>.
+
* '''Шаг 1'''. Для каждого ребра зададим поток равный 0.
 
+
* '''Шаг 2'''. Построим остаточную сеть <tex>G_f</tex>
'''for''' <tex>e \in E</tex> {
+
* '''Шаг 3'''. Если существует путь <tex>s \leadsto t</tex> в остаточной сети <tex>G_f</tex> {{---}} перейдем к '''шагу 4''', иначе к '''Шагу 6'''
      <tex>f[e] \leftarrow 0</tex>
+
* '''Шаг 4'''. Найдем путь <tex>s \leadsto t</tex> c минимальной стоимостью: путь <tex> P</tex>
}
+
* '''Шаг 5'''. Дополним поток <tex>f</tex> вдоль пути <tex>P</tex>
'''while''' (существует путь <tex>s \leadsto t</tex> в остаточной сети <tex>G_f</tex>) {
+
* '''Шаг 6'''. Поток минимальной стоимости найден, т.к в остаточной пути не осталось ни одного пути.
      <tex>P \leftarrow</tex> кратчайший в смысле стоимости путь <tex>s \leadsto t</tex>
+
* Конец
      дополнить поток <tex>f</tex> вдоль <tex>P</tex>
 
}
 
  
 
===Асимптотика===
 
===Асимптотика===

Версия 01:12, 24 января 2016

Теорема Форда-Фалкерсона

Задача о потоке минимальной стоимости состоит в нахождении среди всех потоков данной величины наименее затратного.

Лемма (о представлении потоков):
Пусть [math] f [/math] и [math] g [/math] — потоки в сети [math] G [/math]. Тогда [math] g [/math] можно представить как сумму [math] f + f'[/math], где [math]f'[/math] — поток в остаточной сети [math]G_f[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольное ребро [math] (u, v) [/math] из [math] G [/math]. [math] f'(u, v) = g(u, v) - f(u, v) \leqslant c(u, v) - f(u, v) = c_f(u, v) [/math]. Таким образом, поток через каждое ребро не превосходит пропускной способности остаточной сети.

Антисимметричность и закон сохранения потока проверяются аналогично лемме о сложении потоков.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть:
  • [math] G [/math] — сеть с истоком [math] s [/math] и стоком [math] t [/math].
  • [math] f [/math] — поток минимальной стоимости в сети [math] G [/math] среди потоков величины [math] a [/math].
  • [math] P [/math] — путь минимальной стоимости [math] s \leadsto t[/math] в остаточной сети.

Тогда:

[math]\forall \delta : 0 \leqslant \delta \leqslant c_f(P)[/math] поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — поток минимальной стоимости среди потоков величины [math]a + \delta[/math], где [math]\delta \cdot f_P[/math] — поток величины [math]\delta[/math], проходящий по пути [math]P[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] g [/math] — поток минимальной стоимости величины [math]a + \delta[/math] в [math]G[/math]. Представим [math] g = f + f'[/math], где [math] f' [/math] — поток в остаточной сети [math]G_f[/math]. Тогда разность [math] g - f[/math] будет потоком в сети [math]G_f[/math] и по лемме о сложении потоков его величина будет равна [math]\delta[/math].

По теореме о декомпозиции [math] g - f[/math] можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей [math]P_i : s \leadsto t[/math] и циклов [math]C_i[/math]. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к [math] f [/math] даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из [math] g [/math] и получим поток меньшей стоимости. Таким образом, [math]p(C_i) = 0[/math] для всех циклов.

Тогда [math]p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) \ge p(P) \cdot \delta[/math].

Отсюда [math] p(g) \ge p(f) + p(P) \cdot \delta \ge p(g) [/math] и поток [math]f + \delta \cdot f_P[/math] — минимальный.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

В основе алгоритма лежит описанная выше теорема. На каждой итерации алгоритма будем находить путь минимальной стоимости из [math]s[/math] в [math]t[/math] и дополнять поток вдоль этого пути. Выбирать алгоритм для поиска кратчайших путей следует с учетом того, что в ходе алгоритма появляются ребра отрицательного веса.

Реализация

  • Начало.
  • Шаг 1. Для каждого ребра зададим поток равный 0.
  • Шаг 2. Построим остаточную сеть [math]G_f[/math]
  • Шаг 3. Если существует путь [math]s \leadsto t[/math] в остаточной сети [math]G_f[/math] — перейдем к шагу 4, иначе к Шагу 6
  • Шаг 4. Найдем путь [math]s \leadsto t[/math] c минимальной стоимостью: путь [math] P[/math]
  • Шаг 5. Дополним поток [math]f[/math] вдоль пути [math]P[/math]
  • Шаг 6. Поток минимальной стоимости найден, т.к в остаточной пути не осталось ни одного пути.
  • Конец

Асимптотика

Каждая итерация выполняется за время работы поиска кратчайшего пути, обозначим его [math]F(V, E)[/math]. В сетях с целочисленной пропускной способностью итераций будет не более [math]|f|[/math].

Итого получаем время работы [math]O(F(V, E) \cdot |f|)[/math].

См. также

Источники информации

Литература

  • Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)