147
правок
Изменения
→Реализация
{{Теорема
|statement=
Пусть:* <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.* , <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex> среди потоков величины <tex> a </tex>. *, <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
Тогда:
<tex>\forall \delta : 0 \leqslant \delta \leqslant c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] <tex> g - f</tex> можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом, <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq geqslant p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) \ge geqslant p(P) \cdot \delta</tex>.
Отсюда <tex> p(g) \ge geqslant p(f) + p(P) \cdot \delta \ge geqslant p(g) </tex> и поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} минимальный.
}}
==Алгоритм==
На основании теоремы построим алгоритм.. На каждой итерации алгоритма будем находить путь минимальной стоимости из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> в остаточной сети и дополнять поток вдоль него. Выбирать алгоритм для поиска кратчайших путей следует с учетом того, что в ходе алгоритма появляются ребра отрицательного веса. ===Описание===* Начало.* '''Шаг 1'''. Для каждого ребра зададим поток равный <tex>0</tex>.* '''Шаг 2'''. Построим остаточную сеть <tex>G_f</tex>.* '''Шаг 3'''. Если существует путь <tex>s \leadsto t</tex> в остаточной сети <tex>G_f</tex> {{---}} перейдем к '''шагу 4''', иначе к '''шагу 6'''.* '''Шаг 4'''. Найдем путь <tex>s \leadsto t</tex> c минимальной стоимостью: путь <tex> P</tex>.* '''Шаг 5'''. Дополним поток <tex>f</tex> вдоль пути <tex>P</tex>.* '''Шаг 6'''. Поток минимальной стоимости найден, т.к в остаточной сети не осталось ни одного пути.* Конец.
===Реализация===
===Асимптотика===
==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Форда_—_Фалкерсона Wikipedia {{---}} Теорема Форда-Фалкерсона]
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
