1632
правки
Изменения
м
'''for''' <tex>e \in E</tex> { <tex>f[e] \leftarrow 0</tex> } '''while''' (существует путь <tex>s \leadsto t</tex> в остаточной сети <tex>G_f</tex>) { <tex>P \leftarrow</tex> кратчайший в смысле стоимости путь <tex>s \leadsto t</tex> дополнить поток <tex>f</tex> вдоль <tex>P</tex> }===Реализация===
rollbackEdits.php mass rollback
{{Теорема
|statement=
Пусть:* <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.* , <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex> среди потоков величины <tex> a </tex>. *, <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
Тогда:
<tex>\forall \delta : 0 \leqslant \delta \leqslant c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] <tex> g - f</tex> можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом, <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.
Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq geqslant p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) \ge geqslant p(P) \cdot \delta</tex>.
Отсюда <tex> p(g) \ge geqslant p(f) + p(P) \cdot \delta \ge geqslant p(g) </tex> и поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} минимальный.
}}
==ИдеяАлгоритм==В основе алгоритма лежит описанная выше теоремаНа основании теоремы построим алгоритм. На каждой итерации алгоритма будем находить путь минимальной стоимости из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> в остаточной сети и дополнять поток вдоль этого путинего. Выбирать алгоритм для поиска кратчайших путей следует с учетом того, что в ходе алгоритма появляются ребра отрицательного веса.
==Реализация=Описание===* Начало.* '''Шаг 1'''. Для каждого ребра зададим поток равный <tex>0</tex>.* '''Шаг 2'''. Построим остаточную сеть <tex>G_f</tex>.* '''Шаг 3'''. Если существует путь <tex>s \leadsto t</tex> в остаточной сети <tex>G_f</tex> {{---}} перейдем к '''шагу 4''', иначе к '''шагу 6'''.* '''Шаг 4'''. Найдем путь <tex>s \leadsto t</tex> c минимальной стоимостью: путь <tex> P</tex>.* '''Шаг 5'''. Дополним поток <tex>f</tex> вдоль пути <tex>P</tex>.* '''Шаг 6'''. Поток минимальной стоимости найден, т.к в остаточной сети не осталось ни одного пути.* Конец.
Пусть задана структура <tex>Edge</tex>: '''struct''' edge: '''int''' from '''int''' to '''double''' c <font color=green>// пропускная способность ребра</font> '''double''' flow <font color=Корректность=green>// поток через ребро</font> '''double''' price <font color=Непосредственно следует из [[Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости|теоремы Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости]].green>// стоимость перемещения единицы потока через ребро</font>
Будем использовать структуру для хранения ребер графа G. '''Edge[]''' findMinCostMaxFlow(<tex>G: (V, E)</tex>, '''int''' s, '''int''' t): '''for''' edge '''in''' <tex>E</tex>: edge.flow = 0 '''while''' <tex>\exists</tex> путь <tex>s \leadsto t</tex> в остаточной сети <tex>G_f</tex>: P = путь <tex>s \leadsto t</tex> с наименьшей стоимостью. maxFlow = <tex>\displaystyle \min_{edge \in P} edge.c - edge.flow</tex> '''for''' edge '''in''' P: edge.flow += maxFlow '''return''' <tex>E</tex> ===Асимптотика===
Каждая итерация выполняется за время работы поиска кратчайшего пути, обозначим его <tex>F(V, E)</tex>. В сетях с целочисленной пропускной способностью итераций будет не более <tex>|f|</tex>.
Итого получаем время работы <tex>O(F(V, E) \cdot |f|)</tex>.
== Литература См. также==*[[Поток минимальной стоимости| Поток минимальной стоимости]]*[[Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости| Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости]] ==Источники информации==*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Форда_—_Фалкерсона Wikipedia {{---}} Теорема Форда-Фалкерсона]
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
