Изменения

'''Поиск с помощью золотого сечения''' (англ. ''Golden section search'') {{---}} это улучшение наивной реализации [[Троичный поиск|троичного поиска]], служащего для нахождения минимума/максимума функции. При простом троичном поиске на каждой итерации функция вычисляется в двух точках. Метод же золотого сечения требует вычисления лишь в одной точке (за исключением первой итерации). За счет этого достигается выигрыш в производительности.

[[Файл:divide_segnew_seg.gif|380pxright|450px|Старая точка x1 уже делит отрезок в нужном отношении, поэтому нет необходимости вычислять ее заново (красным отмечены новые значения точек).]]

Точки <tex>x_1</tex> и <tex>x_2</tex> разбивают отрезок на три части длины <tex>\dfrac{a, + b}{c} = \dfrac{b, + c}{a} = \varphi </tex> соответственно. Потребуем, чтобы одновременно выполнялось:

Расстояние от <tex>l</tex> до <tex>x1 = a + b - c = a' </tex>, от <tex>x2 </tex> до <tex> r = b = c'</tex>, от <tex>х1 </tex> до <tex> х2 = c - b = b'</tex>. Т.е. если мы подставим <tex>a', b', c'</tex> в старое соотношение <tex> \fracdfrac{a + b}{c} = </tex>, то получится <tex> \fracdfrac {a + b - c + c- b}{ab} = \varphi dfrac{a}{b}</tex>.

<tex> \fracdfrac{a}{b} = \varphi </tex>

<tex> \fracdfrac{c}{b} = \varphi </tex>

<tex> a + b = \varphi c, a = \varphi b, c = \varphi b</tex>, откуда получаем <tex> \varphi + 1 = \varphi^2 \Rightarrow \varphi = \fracdfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</tex> &nbsp; (тот корень уравнения, который меньше нуля, по понятным причинам отбросили).

Это число совпадает с золотым сечением. Отсюда название метода.

===Свойства золотого сечения===Для реализации алгоритма нам потребуется найти <tex> a </tex> и <tex> a + b </tex>. Если <tex> L </tex> {{- --}} длина исследуемого отрезка, тогда:

<tex> \left(\fracdfrac{b + c}{a} = \varphi;\; b + c = L - a\right) \Rightarrow</tex>

<tex> a = \fracdfrac{L}{\varphi + 1} </tex>

<tex> a + b = L - c = L - a = L - \fracdfrac{L}{\varphi + 1}</tex>

ПричемЗаметим, заметим что в силу того , что <tex>\varphi</tex> {{---}} золотое сечение, то <tex>\fracdfrac{1}{\varphi + 1} = 2 - \varphi</tex>.

::<tex>x_1 = l + \fracdfrac{r - l}{\varphi + 1}</tex> ::<tex>x_2 = r - \fracdfrac{r - l}{\varphi + 1}</tex>

::: <tex>x_1 = l + \fracdfrac{r - l}{\varphi + 1},\; f_1 = f(x_1)</tex>

::: <tex>x_2 = r - \fracdfrac{r - l}{\varphi + 1},\; f_2 = f(x_2)</tex>

:: если точность <tex>|r - l| < \varepsilon</tex> нас устраивает, тогда останавливаемся, и искомая точка <tex>x = \fracdfrac{l + r}{2}</tex>, иначе назад к шагу 2

  '''double''' goldenSectionSearch(f: '''double -> double''', l: '''double''', r: '''double''', eps: '''double'''): phi = (1 + sqrt(5)) / 2 resphi = 2 - phi goldenSectionSearch(f, l, r, eps) x1 = l + resphi * (r - l) x2 = r - resphi * (r - l) f1 = f(x1) f2 = f(x2) '''do''' '''if ''' f1 < f2: r = x2 x2 = x1 f2 = f1 x1 = l + resphi * (r - l) f1 = f(x1) '''else:''' l = x1 x1 = x2 f1 = f2 x2 = r - resphi * (r - l) f2 = f(x2) '''while ''' abs(r - l) > < eps '''return ''' (x1 + x2) / 2 ===Ошибки псевдокода===1. Используются вычислительно-неустойчивые формулы.2. Учитывается только абсолютная длина отрезка.Подробнее:http://mech.math.msu.su/~iliagri/zip/sem2book.pdf

<tex> \log_{\varphi}\left(\fracdfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>.

Если удельный вес вычисления функции <tex> f </tex> достаточно большой, тогда получим ускорение работы примерно в 2,4 раз по сравнению с неулучшенным [[Троичный поиск|троичным поиском]] (<tex> \log_{\varphi}\left(\fracdfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex> против <tex>2 \log_{\frac32} \left(\fracdfrac{r - l}{\varepsilon}\right)</tex>. За счет этого достигается выигрыш в производительности, т.к. каждый новый отрезок в <tex>\approx 1.618 </tex> раз короче предыдущего (против <tex>1.5</tex> у троичного поиска) и сходится он в <tex>\log_{\frac32} \left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) \approx 1.1868 </tex> быстрее, чем в троичном поиске, соответственно, в <tex> \approx 2.3736 </tex> раза меньше вычислений.

==СсылкиИсточники информации==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B7%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Википедия {{- --}} Метод золотого сечения] *[http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_section_search Wikipedia {{--- }} Golden section search] (english)