Изменения

|definition = Пусть даны Даны два отсортированных массива <tex>Aa</tex> и <tex>Bb</tex> размерами <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно. Требуется [[Поиск k-ой порядковой статистики|найти <tex>k</tex>-ый порядковый элемент]] после их слияния. Будем считать, что все элементы в массивах различны и нумеруются с нуля.}}

Будем использовать два указателя, с помощью которых сможем обойти массивы , не сливая их. Поставим указатели на начало каждого из массивов. Будем увеличивать на единицу тот из них, который указывает на меньший элемент. После <tex>(k - 1)</tex>-ого добавления ой итерации сравним элементы, на которых стоят указатели. Меньший из них и будет ответом. Таким образом, мы получим <tex>k</tex>-ый элемент за <tex>O(k)</tex> шагов. 

В первом массиве выберем серединный элемент c индексом <tex>(i = \dfrac{n / }{2)}</tex> и бинпоиском [[Целочисленный двоичный поиск|бинарным поиском]] найдем во втором массиве позицию <tex>j</tex>, на котором которой стоит наибольший элемент, меньший <tex>a[i]</tex>. Если <tex>i + j = k - 2</tex>, то мы нашли <tex>k</tex>-ую порядковую статистику {{---}} это элемент <tex>a[i]</tex>. Иначе, если <tex>i + j > k - 2</tex>, то далее тем же способом ищем в массиве <tex>Aa</tex> в диапазоне индексов <tex>[0, i - 1]</tex>, а если <tex>i + j < k - 2</tex>, то в диапазоне индексов <tex>[i + 1, n - 1]</tex>. Решая задачу таким способом, мы получим асимптотику <tex>O(\log(n) \cdot \log(m))</tex>. 

Оба решения, приведенные вышеПриведём теперь решение, работают работающее за линейное время, то есть приемлемы только при небольших значениях <tex>k</tex>. Следующее решение работает за <tex>O(\log(\min(n, m)))</tex>. Чтобы получить логарифмическую сложность, будем использовать [[Целочисленный двоичный поиск|бинарный поиск]], который сокращает область поиска с каждой итерацией. То есть для достижения нужной сложности мы должны на каждой итерации сокращать круг поиска в каждом из массивов.

Рассмотрим Для начала рассмотрим следующую ситуацию: пусть у нас есть элемент <tex>a[i]</tex> из массива <tex>Aa</tex> и элемент <tex>b[j]</tex> из массива <tex>Bb</tex> и они связаны неравенством <tex>b[j - 1] < a[i] < b[j]</tex>. Тогда <tex>a[i]</tex> есть <tex>(j + i + 1)</tex>-ый порядковый элемент после слияния массивов. Это объясняется тем, что до <tex>a[i]</tex>-ого элемента идут <tex>(j - 1)</tex> элемент элементов из массива <tex>Bb</tex>, <tex>(i+1)</tex> элементов из массива <tex>Aa</tex> (включая сам элемент <tex>a[i]</tex>). В итоге получаем <tex>j + i + 1</tex>. Принимая это во внимание, будем выбирать <tex>i</tex> и <tex>j</tex> таким образом, чтобы <tex>j + i + 1 = k</tex>.

Будем использовать <tex>i</tex> и <tex>j</tex> как опорные точки для разделения массивов. Заметим, что если <tex>a[i] < b[j]</tex>, то <tex>a[i] < b[j - 1]</tex> (иначе второе условие бы выполнялось). В таком случае на месте <tex>i</tex>-го элемента может стоять максимум <tex>i + (j - 2) + 2 = (i + j)</tex>-ый порядковый элемент после слияния массивов (так произойдет в случае, когда <tex>a[i] > b[j - 2]</tex>), а значит элемент с номером <tex>i</tex> и все до него в массиве <tex>Aa</tex> никогда не будут <tex>k</tex>-ой порядковой статистикой. Аналогично элемент с индексом <tex>j</tex> и все элементы, стоящие после него, в массиве <tex>Bb</tex> никогда не будут ответом, так как после слияния на позиции <tex>j</tex> будет стоять <tex>(i + j + 2)</tex>-ой порядковый элемент после слияния, порядковые номера остальных же будут еще больше. Таким образом, далее мы можем продолжать поиск в массиве <tex>Aa</tex> только в диапазоне индексов <tex>[i + 1, n - 1]</tex>, а в массиве <tex>Bb</tex> {{---}} <tex>[0, j - 1]</tex>. По аналогии, если <tex>b[j] < a[i]</tex>, то <tex>b[j] < a[i - 1]</tex> (иначе выполнялось бы третье условие). Аналогичными рассуждениями приходим к тому, что в таком случае дальнейший поиск нужно осуществлять в массиве <tex>Aa</tex> в диапазоне <tex>[0, i - 1]</tex>, в массиве <tex>Bb</tex> {{---}} <tex>[j + 1, m - 1]</tex>.

Стоит отметить, что еще нам не нужно рассматривать элементы, стоящие и в том, и в другом массивах на позициях от <tex>k</tex>-ой до конца (если такие есть), так как они тоже никогда не будут ответом. Поэтому первый раз запускаем нашу функцию от параметров <tex>\mathtt{findKthOrderStatistic}(Aa, \min(n, k), Bb, \min(m, k), k)</tex>.

'''int''' findKthOrderStatistic('''int*''' Aa, '''int''' n, '''int*''' Bb, '''int''' m, '''int''' k):

'''if''' Bb[k - 1] < Aa[0] '''return''' Bb[k - 1] '''else if ''' Aa[0] < Bb[k - 2] '''return''' Bb[k - 2]

'''return''' Aa[0]

'''return''' findKthOrderStatistic(Bb, m, Aa, n, k)

'''return''' findKthOrderStatistic(A a + i + 1, n - i - 1, Bb, m, k - i - 1) <font color=green>// чтобы сохранить инвариант, сделаем Aa[-1] = -INF и Bb[-1] = -INF </font> '''int''' Ai_left aiLeft = ((i == 0) ? INT_MIN : Aa[i - 1]) '''int''' Bj_left bjLeft = ((j == 0) ? INT_MIN : Bb[j - 1]) '''if''' Bj_left bjLeft < Aa[i] '''and''' Aa[i] < Bb[j] '''return''' Aa[i] '''else if''' Ai_left aiLeft < Bb[j] '''and''' Bb[j] < Aa[i] '''return''' Bb[j] '''if''' Aa[i] < Bb[j] '''return''' findKthOrderStatistic(A a + i + 1, n - i - 1, Bb, j, k - i - 1)

'''return''' findKthOrderStatistic(Aa, i, B b + j + 1, m - j - 1, k - j - 1)

Чтобы алгоритм работал за <tex>O(\log(\min(n, m)))</tex>, будем передавать первым массивом в функцию тот, длина которого меньше. Тогда первый массив длина рассматриваемой области первого массива на каждой итерации уменьшается в два раза. После того, как только его размер становится равным она станет равна единице, ответ можно будет получить за несколько сравнений мы находим ответ. Таким образом мы получаем заявленную асимптотику.