Изменения
Нет описания правки
== Описание алгоритма ==
#Все <tex>n</tex> элементов входного массива разбиваются на группы по пять элементов, в последней группе будет <tex>n</tex> <tex>\bmod</tex> <tex> 5</tex> элементов. Эта группа может оказаться пустой при <tex>n</tex> кратных кратным <tex>5</tex>.#Сначала сортируется каждая группа, затем выбираем медиану в из каждой из этих группгруппы выбирается медиана.#Путем рекурсивного вызова шага 1 определяется медиана <tex>x</tex> из множества медиан(верхняя медиана в случае чётного количества), найденных на втором шаге. Где Найденный элемент массива <tex>x</tex> — используется как рассекающий элемент, (за <tex>i</tex> — обозначим его индекс рассекающего элемента. Если медиан окажется четное количество, то на место рассекающего элемента будут претендовать две медианы, переменной <tex>x</tex> будет присвоено значение большей из этих двух медиан).#Делим массив Массив делится относительно рассекающего элемента <tex>x</tex>. Все элементы меньшие <tex>x</tex> будут находиться левее <tex>x</tex> в массиве и будут иметь меньший индекс и наоборот, если элементы больше <tex>x</tex>.#Если <tex>i</tex> <tex>=</tex> <tex>k</tex>, то возвращается значение <tex>x</tex>. Иначе вызывается запускается рекурсивно шаг 1, и выполняется поиск элемента в одной из частей массива: <tex>k</tex>-го в порядке возрастания элемента ой статистики в левой части массива,если при <tex>i</tex> <tex><k</tex> или <tex>(k- i - 1)</tex>, или -ой статистики в правой части, если при <tex>i</tex> <tex>></tex> <tex>k</tex>.
=== Пример работы алгоритма ===
Рассмотрим работу алгоритма на массиве из <tex> 25 </tex> элементов, обозначенных кружками.
[[Файл:поиск2.png| 300px]]
[[Файл:поиск3поиск5.png| 300px]]
== Анализ времени работы алгоритма ==
Пусть <tex>T(n)</tex> — время работы алгоритма для <tex>n</tex> элементов, тогда оно не больше, чем сумма:
# времени работы на сортировку групп и разбиение по рассекающему элементу, то есть <tex>Cn</tex>;
# времени работы для поиска медианы медиан, то есть <tex>T</tex><tex>\left(\fracdfrac{n}{5}\right)</tex>;# времени работы для поиска <tex>k</tex>-го элемента в одной из двух частей массива, то есть <tex>T(s)</tex>, где <tex>s</tex> — количество элементов в этой части. Но <tex>s</tex> не превосходит <tex>\fracdfrac{7n}{10}</tex>, так как чисел, меньших рассекающего элемента, не менее <tex>\fracdfrac{3n}{10}</tex> — это <tex>\fracdfrac{n}{10}</tex> медиан, меньших медианы медиан, плюс не менее <tex>\fracdfrac{2n}{10}</tex> элементов, меньших этих медиан. С другой стороны, чисел, больших рассекающего элемента, так же не менее <tex>\fracdfrac{3n}{10}</tex>, следовательно <tex> s \le leqslant </tex> <tex>\fracdfrac{7n}{10}</tex>, то есть в худшем случае <tex> s = </tex> <tex>\fracdfrac{7n}{10}</tex>.
Тогда получаем, что
<tex>T(n) \le leqslant T</tex><tex>\left(\fracdfrac{n}{5}\right) </tex><tex> + T</tex><tex>\left(\fracdfrac{7n}{10}\right) </tex><tex> + Cn </tex>
Покажем, что для всех <tex> n </tex> выполняется неравенство <tex>T(n) \le leqslant 10Cn </tex>.
Докажем по индукции:
# Предположим, что наше неравенство <tex>T(n) \le leqslant 10Cn </tex> выполняется при малых <tex> n </tex>, для некоторой достаточно большой константы <tex> C </tex>. # Тогда, по предположению индукции, <tex>T</tex><tex>\left(\fracdfrac{n}{5}\right) </tex> <tex> \le leqslant 10C</tex><tex>\fracdfrac{n}{5} </tex> <tex> = 2Cn</tex> и <tex> T</tex><tex>\left(\fracdfrac{7n}{10}\right) </tex> <tex> \le leqslant 10C</tex><tex>\fracdfrac{7n}{10} </tex> <tex> = 7Cn</tex>, тогда<tex>T(n) \le leqslant T</tex><tex>\left(\fracdfrac{n}{5}\right) </tex> <tex> + T</tex><tex>\left(\fracdfrac{7n}{10}\right) </tex> <tex> + Cn = 2Cn + 7Cn + Cn = 10Cn \Rightarrow T(n) \le leqslant 10Cn</tex> Так как <tex>T(n) \le 10Cn </tex>, то время работы алгоритма <tex>O(n)</tex>
== Ссылки Источники инфомации==* Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. '''Алгоритмы: построение и анализ''' {{---}} Вильямс, 2013. {{---}} 1328 с. {{---}} ISBN 978-5-8459-1794-2* [http://en.wikipedia.org/wiki/BFPRT#Linear_general_selection_algorithm_-_Median_of_Medians_algorithm Wikipedia — Selection algorithm — Wikipedia]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
[[Категория: Другие сортировки]]