Покрытие рёбер графа путями — различия между версиями
Timur (обсуждение | вклад) |
|||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечетную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество ребер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|реберно-простыми]] путями. | Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечетную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество ребер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|реберно-простыми]] путями. | ||
|proof= | |proof= | ||
| − | |||
| − | |||
| + | '''Необходимость''' | ||
| − | + | Докажем, что <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно-простыми путями. | |
| − | Докажем, что <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно-простыми путями | ||
| − | |||
| − | |||
| + | Добавим <tex> N </tex> ребер <tex>uv</tex> таких, что <tex>uv</tex> <tex>\notin</tex> <tex>G</tex> и степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в <tex>G</tex> появится Эйлеров цикл <tex>c</tex> (критерием Эйлеровости графа является отсутствие нечетных вершин в связном мультиграфе). | ||
| + | |||
| + | Удалим из <tex>c</tex> добавленные ребра. | ||
| + | Заметим, что теперь цикл распадается на <tex> N </tex> простых путей. В самом деле: возьмем Эйлеров цикл и удалим из него <tex>N</tex> ребер. Теперь полученный граф можно разбить на <tex>N</tex> (или меньше) цепей между этими удаленными ребрами. | ||
| + | |||
| + | '''Достаточность''' | ||
| + | |||
| + | Докажем, что <tex>G</tex> нельзя покрыть менее, чем <tex>N</tex> реберно-простыми путями. | ||
| + | |||
| + | Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей <tex>p_1, p_2, ... p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все ребра <tex>G</tex>. Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}...u_{i_m}</tex>. Добавим в <tex>G</tex> все ребра вида <tex>u_{i_m}u_{{i+1}_0}</tex> (соединяют конец предыдущей и начало следующей цепи) и ребро <tex>u_{k_m}u_{1_0}</tex> (соединяет конец последней и начало первой цепей). | ||
| + | |||
| + | В новом графе появится Эйлеров цикл, т.к. мы добавили ребра, соединяющие конец и начало <tex> i </tex> и <tex> i + 1 </tex> пути соответственно. Всего добавлено <tex>k</tex> ребер, которые меняют четность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. Т.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечетной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа.<br/> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует. | Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше <tex>N</tex>, не существует. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
}} | }} | ||
Версия 16:39, 8 января 2017
Следующее утверждение являются следствием из критерия Эйлеровости графа:
| Теорема: |
Пусть — граф, в котором вершин имеют нечетную степень. Тогда множество ребер можно покрыть реберно-простыми путями. |
| Доказательство: |
|
Необходимость Докажем, что можно покрыть реберно-простыми путями. Добавим ребер таких, что и степени вершин и нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в появится Эйлеров цикл (критерием Эйлеровости графа является отсутствие нечетных вершин в связном мультиграфе). Удалим из добавленные ребра. Заметим, что теперь цикл распадается на простых путей. В самом деле: возьмем Эйлеров цикл и удалим из него ребер. Теперь полученный граф можно разбить на (или меньше) цепей между этими удаленными ребрами. Достаточность Докажем, что нельзя покрыть менее, чем реберно-простыми путями. Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей , такой что он покрывает все ребра . Пусть й путь из этого набора имеет вид . Добавим в все ребра вида (соединяют конец предыдущей и начало следующей цепи) и ребро (соединяет конец последней и начало первой цепей). В новом графе появится Эйлеров цикл, т.к. мы добавили ребра, соединяющие конец и начало и пути соответственно. Всего добавлено ребер, которые меняют четность не более, чем вершин. Т.к. , то в графе останутся вершины нечетной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа. |
См. также
Источники информации
- Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
