Изменения

== Критерий Поста Полные системы функций ==Критерий Поста — одна из центральных теорем в теории {{Определение|definition=Если любая [[Определение булевой функции|булевых функцийбулева функция]], устанавливающая необходимое и достаточное условие для тогоявляющаяся [[Суперпозиции|суперпозицией]] функций некоторого множества, чтобы некоторый набор булевых функций обладал достаточной выразительностьюпринадлежит этому множеству, чтобы представить любую булеву функциюто такое множество называют '''замкнутым''' (англ. Впервые сформулирован американским математиком Эмилем Постом''closed set'').}}

== Формулировка и доказательство критерия =={{ОпределениеТеорема|statementdefinition=Система '''Замыканием''' (англ. ''сlosure'') множества функций называется такое подмножество всех булевых функций F является полной тогда и только тогда, когда она не содержится ни в одном что любую из классов <tex>~S,M,L,T_0,T_1</tex>, т.е. когда в ней имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая 0, хотя бы одна функция, не сохраняющая 1, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функцияэтих функций можно выразить через функции исходного множества.}}

{{Определение|proofid=def1|definition=Множество булевых функций называется '''полной системой''' (англ. ''complete set''), если замыкание этого множества совпадает с множеством всех функций.}}

Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна{{Определение|definition=Полная система функций называется '''безызбыточной''' (англ. ''irredundant functions''), так как если бы все функции из набора К входили в один она перестает быть полной при исключении из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а значит, и замыкание набора входило бы в этот класс и класс К не мог быть полнымнеё любого элемента.}}

Докажем достаточность этого утверждения== Замкнутые классы булевых функций ==Класс функций сохраняющих ноль <tex>T_0</tex>.{{Определение|id = save0|definition=Говорят, что функция '''сохраняет ноль''', если <tex>f(0, 0, \ldots, 0) = 0</tex>.}}

а) Класс функций сохраняющих единицу <tex>f_0T_1</tex>(1) . {{Определение|id = save1|definition= 1Говорят, что функция '''сохраняет единицу''', тогда <tex>f_0если </tex>f(x1, x1, x\ldots, ..., x1) = <tex>~1</tex>'''.'''}}

Рассмотрим функцию, несохраняющую 1 - Класс самодвойственных функций <tex>f_1S</tex>.{{Определение|id = selfDual|definition=Говорят, что функция '''самодвойственна''' (англ.''self-dual'' ), если <tex>f_1</tex>f(1\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}) = 0. <tex>f_1\overline{f(x_1,\ldots,x_n)}</tex>(0) может принимать два . Иными словами, функция называется самодвойственной, если на противоположных наборах она принимает противоположные значения:.}}

а) Класс монотонных функций <tex>f_1M</tex>.{{Определение|id = monotone|definition=Говорят, что функция '''монотонна''' (0англ. ''monotonic function'') = 0, тогда если <tex>f_1</tex>\forall i (a_i \leqslant b_i) \Rightarrow f(xa_1, x\ldots, xa_n)\leqslant f(b_1, ...\ldots, xb_n) = <tex>~0</tex>'''.'''}}

бКласс линейных функций <tex>L</tex>.{{Определение|id = linear|definition=Говорят, что функция '''линейна''' (англ. ''linear function'') , если существуют такие <tex>f_1a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n</tex>(, где <tex>a_i \in \{0) , 1\}, \forall i= \overline{1, тогда n}</tex>, что для любых <tex>f_1x_1, x_2, \ldots, x_n</tex>имеет место равенство::<tex>f(x, xx_1, xx_2, ...\ldots, xx_n) = ¬x'''a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\ldots\oplus a_n\cdot x_n</tex>.}}Количество линейных функций от <tex>n</tex> переменных равно <tex>~2^{n+1}</tex>.'''

Возможны 4 варианта:Функция является линейной тогда, и только тогда, когда в ее [[Полином_Жегалкина|полиноме Жегалкина]] присутствуют слагаемые, каждое из которых зависит не более чем от одной переменной. Построить полином Жегалкина можно с помощью [[Преобразование Мёбиуса для получения коэффициентов полинома Жегалкина|преобразования Мебиуса]]. == Формулировка и доказательство критерия Поста =={{Теорема|statement=Набор булевых функций <tex>K</tex> является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов <tex> S,M,L,T_0,T_1 </tex>, иными словами, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

По определению найдется такой вектор <tex>x_0</tex>, что <tex>f_s</tex>(<tex>x_0</tex>) = <tex>f_s</tex>(¬<tex>x_0</tex>)==== Необходимость. <tex>x_0</tex> = (<tex>x_{01}, x_{02}, ..., x_{0k}</tex>)'''.'''====

Возьмем Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна, так как если бы все функции из набора <tex>f_sK</tex>(<tex>x^{x_{01}}входили в один из перечисленных классов, x^{x_{02}}то и все суперпозиции, ...а, x^{x_{0k}}</tex>)значит, где <tex>x^{x_{0i}}</tex> = xи замыкание набора входило бы в этот класс, при <tex>x_{0i}</tex> = 1 и набор <tex>x^{x_{0i}}</tex> = ¬x, при <tex>x_{0i}K</tex> = 0'''не мог бы быть полным.'''

Нетрудно заметить===== Достаточность. =====Докажем, что если набор <tex>f_sK</tex>не содержится полностью ни в одном из данных классов, то он является полным.# Рассмотрим функцию, не сохраняющую ноль {{---}} <tex>f_0</tex> (то есть функцию, для которой <tex>f_0(0) = 1</tex>). Тогда <tex>f_sf_0(1)</tex>может принимать два значения:## <tex>f_0(1) =1</tex>, тогда <tex>f_0(x, x, x, \ldots, x) = 1</tex> .## <tex>f_sf_0(1) = 0</tex> , тогда <tex>f_0(x, x, x, \ldots, x) = '''const\neg x</tex>.'''Таким образом мы получили одну из констант'''# Рассмотрим функцию, не сохраняющую один {{---}} <tex>f_1</tex> (то есть функцию, для которой <tex>f_1(1) = 0</tex>). Тогда <tex>f_1(0)</tex> может принимать два значения:## <tex>f_1(0) = 0</tex>, тогда <tex>f_1(x, x, x, \ldots, x) = 0</tex>.## <tex>f_1(0) = 1</tex>, тогда <tex>f_1(x, x, x, \ldots, x) = \lnot x</tex>.'''

'''2''')Мы получили '''НЕ''' и <tex>~0</tex>. '''¬'''<tex>~0</tex> = <tex>~1</tex>'''.'Таким образом, возможны четыре варианта:''

'''3''')* Мы получили '''НЕ''' и функцию <tex>~1\neg </tex>. '''¬'''Используем несамодвойственную функцию <tex>~1f_s</tex> . По определению, найдется такой вектор <tex>x_0</tex>, что <tex>f_s(x_0) = f_s(\lnot x_0)</tex>. Где <tex>~0x_0 = (x_{01}, x_{02}, \ldots, x_{0k})</tex>'''.'''

'''4'''Рассмотрим <tex>f_s(x^{x_{01}}, x^{x_{02}}, \ldots, x^{x_{0k}})Мы получили </tex>, где либо <tex>x^{x_{0i}} = x</tex>, при <tex>~x_{0i} = 1</tex> и . Либо <tex>~x^{x_{0i}} = \lnot x</tex>, при <tex>x_{0i} = 0 </tex>. Нетрудно заметить, что <tex>f_s(0) = f_s(1) \Rightarrow f_s = \operatorname {const}</tex>'''.'''Таким образом мы получили одну из констант.

Рассмотрим немонотонную функцию *Мы получили <tex>f_m\neg </tex>. Существуют такие и <tex>x_1, x_2, ..., x_n0 \Rightarrow</tex>имеем константу, что равную <tex>f_m(x_1, x_2, ..., x_{i-1}</tex>, поскольку <tex>\lnot 0 , x_{i+= 1}, </tex>..., x_n)*Мы получили <tex> \neg </tex> = 1, и <tex>f_m(x_1, x_2, ..., x_{i-1}, 1 \Rightarrow</tex> имеем константу, x_{i+1}, ...равную <tex>0</tex>, x_n)поскольку </tex> \lnot 1 = 0, зафиксируем все </tex>x_1, x_2, ..., x_n*Мы получили <tex>1</tex>, тогда и <tex>f_m(x_1, x_2, ..., x_{i-1}, x, x_{i+1}, ..., x_n)0</tex> = ¬x'''.'''

В итоге имеем три функции: '''НЕ'''Рассмотрим немонотонную функцию <tex>f_m</tex>. Существуют такие <tex>x_1, x_2, \ldots, x_n</tex>, что <tex>f_m(x_1, x_2, \ldots, x_{i-1}, 0 , x_{i+1}, \ldots, x_n) = 1</tex>, <tex>~f_m(x_1, x_2, \ldots, x_{i-1}, 1 , x_{i+1}, \ldots, x_n) = 0</tex>, зафиксируем все <tex>~x_1, x_2, \ldots, x_n</tex>, тогда <tex>f_m(x_1, x_2, \ldots, x_{i-1}, x, x_{i+1}, \ldots, x_n)= \lnot x</tex>'''.'''

Используем нелинейную функцию <tex>f_l</tex>'''.'В итоге имеем три функции:'' Среди нелинейных членов <tex>f_l\neg </tex>, выберем тот, в котором минимальное количество элементов, все элементы, кроме двух, в этом члене, сделаем равными 1, оставшиеся 2 назавем <tex>x_10</tex> и <tex>x_2</tex>, а все элементы, не входящие в данный член, сделаем равными 0'''.''' Тогда <tex>f_l</tex> = <tex>x_1</tex>^<tex>x_2</tex> ⊕ [<tex>x_1</tex>] ⊕ [<tex>x_2</tex>] ⊕ [<tex>~1</tex>], где в квадратных скобках указаны члены, которые могут и не присутствовать'''.'''

1) Присутствует член <tex>~1</tex>. Возьмем отрицание от <tex>f_l</tex> и член <tex>~1</tex> уберется'''.'Рассмотрим несколько вариантов:''

2) # Присутствует член <tex>\oplus ~1</tex>. Возьмем отрицание от <tex>g_l</tex> и член <tex>\oplus ~1</tex> исчезнет.# Присутствуют 3 три члена, без <tex>\oplus ~1</tex>: <tex>f_lg_l= x_1 \land x_2 \oplus x_1 \oplus x_2</tex>. Составив таблицу истинности для этой функции нетрудно заметить, что она эквивалентна функции <tex> \vee </tex>.# Присутствуют два члена, без <tex>\oplus ~1</tex>. Построив две таблицы истинности для двух различных вариантов, заметим, что в обоих случаях функция истинна только в одной точке, следовательно, СДНФ функции <tex>g_l</tex> = будет состоять только из одного члена. Если это так, то не составляет труда выразить <tex> \wedge </tex> через <tex> \neg </tex> и <tex>g_l</tex>. Например, если функция <tex>g_l(x_1, x_2, \ldots, x_n)</tex>^принимает истинное значение, когда аргументы c номерами <tex>i_1, i_2, \ldots, i_m</tex>x_2ложны, а все остальные истины, то функцию <tex> \wedge </tex> ⊕ можно выразить как <tex>g_l([\lnot]x_1, [\lnot]x_2, \ldots, [\lnot]x_n)</tex> ⊕ , где <tex>x_2\lnot</tex>'''.''' Составив таблицу истинности для этой функцииставится перед аргументами с номерами <tex>i_1, i_2, нетрудно заметить\ldots, что она эквивалентна функции '''ИЛИi_m</tex>.# Присутствует один член. Выразим <tex> \wedge </tex> через <tex> \neg </tex> и <tex>g_l</tex> аналогично пункту 3.'''

3) Присутствуют 2 членаВ итоге получим функцию<tex> \neg </tex>, а также либо функцию <tex> \wedge </tex>, без либо функцию <tex>~1\vee </tex>. Посторив две таблицы истинностиПоскольку функцию <tex> \wedge </tex> можно выразить через <tex> \vee </tex> и <tex> \neg </tex>, а функцию <tex> \vee </tex> через <tex> \wedge </tex> и <tex> \neg </tex>, то мы получили базис <tex> \wedge </tex>, <tex> \vee </tex>, для двух различных вариантов<tex> \neg </tex>. Любую булеву функцию, видимне равную тождественному нулю, что в обоих случаях функция истинна только можно представить в одной точке => форме [[СДНФ будет состоять только из одного члена, а если это так]], то не составляет труда есть выразить '''И'''в данном базисе. Если же функция равна тождественному нулю, через '''НЕ''' и то ее можно представить в виде <tex>f_lx \land \lnot x</tex>.

В итоге получаем функцию '''НЕ'''Значит, а также либо функцию '''И'''полученные функции образуют полную систему, либо поскольку с их помощью можно выразить любую булеву функцию '''ИЛИ''', но '''НЕ''' образует базис и с той и с другой функциями. Из того, что через функции '''F''' можно выразить базис, этого следует, что '''F''' K {{--- }} полная система функций, что и требовалось доказать'''.'''

== Примеры ==Согласно критерию Поста система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов <tex>T_0</tex>, <tex>T_1</tex>, <tex>S</tex>, <tex>M</tex>, <tex>L</tex>. В частности, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать [[Определение_булевой_функции#.D0.91.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.80.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|штрих Шеффера]] или [[Определение_булевой_функции#.D0.91.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.80.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|стрелку Пирса]]. Широко известны такие полные системы булевых функций:* <tex>\left\{\land,\lor,\neg\right\}</tex> (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание);* <tex>\left\{\land,\oplus,1\right\}</tex> (конъюнкция, сложение по модулю два, константа один).Первая система используется, например, для представления функций в виде [[СДНФ|дизъюнктивных]] и [[СКНФ|конъюнктивных нормальных форм]], вторая — для представления в виде [[Полином Жегалкина|полиномов Жегалкина]]. Первая из упоминавшихся выше полных систем безызбыточной не является, поскольку согласно законам де Моргана либо дизъюнкцию, либо конъюнкцию можно исключить из системы и восстановить с помощью остальных двух функций. Вторая система является безызбыточной — все три её элемента необходимы для полноты системы. Теорема о максимальном числе функций в базисе: максимально возможное число булевых функций в базисе — четыре. Иногда говорят о системе функций, полной в некотором замкнутом классе, и, соответственно, о базисе этого класса. Например, систему <tex>\left\{\oplus,1\right\}</tex> можно назвать базисом класса линейных функций. == См. также ==* [[Определение_булевой_функции|Булевы функции]]* [[Суперпозиции|Суперпозиции]]* [[Полином_Жегалкина|Полином Жегалкина]] == Источники информации == * [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0 Википедия — Критерий Поста]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница %D0%97%D0%B0%D0%BC%D0%BA%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8B%D0%B5_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%8B_%D0%B1%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9 Википедия — свободная энциклопедияЗамкнутые классы булевых функций]