2
правки
Изменения
м
GrammarNazi
Так как ряд <tex>\sum b_n</tex> сходится, то, по теореме Вейерштрасса, сумма <tex>b_k</tex> ограничена каким-то числом <tex>B</tex>. А тогда,
<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k b_k \leq B</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> сходится.
Значит, (<tex>S_n</tex> сходится <tex>\iff</tex> <tex>q^{n + 1} \to 0</tex>) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>q \in (0; 1)</tex>.
В частности, гармончиеский гармонический ряд расходится.
== Сравнение ряда с геометрической прогрессией (признак Даламбера и радикальный признак Коши)==
<tex>q < 1:\ \exists N\ \forall n>N:\ \sqrt[n]{a_n} < q + \varepsilon_0 < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>a_n < (q + \varepsilon_0)^n</tex>.
Ряд мажорируется бесконечной убывающей прогресиейпрогресcией.
}}
