Изменения

[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8BМатематический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

Пусть <tex> X </tex> - — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств(необязательно не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:1) # <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> 2) # <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex>(замкнутость относительно пересечения) 3) # <tex> A, B \in \mathcal R, A \cup subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, AD_n, B \ldots \in \mathcal R \Rightarrow : B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).

Простой пример полукольца: <tex> X = \mathbb R, \mathcal R = \{\ ,[a; b) | \mid a, b \in \mathbb R, a \le b\ ,\} </tex>.

<tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k_jk,j}) = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>

Пусть <tex> B_1, B_2, \ldots, B_n , \ldots \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k</tex> дизъюнктны.

<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus ( B_1\cup B_2 )) \cup \ldots \cup (B_n B_{n+1} \setminus B_1(\bigcup\limits_{k=1}^n B_k)) \cup \ldots </tex>

Пусть <tex> X </tex> - — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> - — совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> - — '''алгебра''', если:

1) # <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex># <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex># <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>

2) <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex>пересечения счетного числа множеств:

3) <tex> BB_1, C B_2, ... \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C bigcap\limits_{n} B_n \in \mathcal A </tex>

Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cup C = \overline {\overline B \cup cap \overline C} \in \mathcal A </tex>, поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.

Если усилить третью аксиому, потребовав принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств, то получим структуру, называемую '''σ-алгеброй'''(сигма-алгебра). Она замкнута относительно теоретико-множественных операций с неболее не более, чем счетным числом объектов.

Очевидно, сигмаCигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец.: <tex> A \subset B, B \setminus A = B \cap \overline A \in \mathcal{A} </tex>

[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8BМатематический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]

[[Категория:Математический анализ 1 2 курс]]