Просмотр исходного текста страницы Получение номера по объекту

== Описание алгоритма ==
Номер данного [[Комбинаторные объекты|комбинаторного объекта]] равен количеству меньших в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] комбинаторных объектов (нумерацию ведём с <tex>0</tex>). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины <tex>i</tex> совпадает, а <tex>i+1</tex> элемент лексикографически меньше <tex>(i+1)</tex>-го в данном объекте (<tex>i = 0..n-1</tex>). 
Следующий алгоритм вычисляет эту сумму:
*<tex>\mathtt{numOfObject}</tex> {{---}} искомый номер комбинаторного объекта,
*<tex>\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} данный комбинаторный обьект, состоящий из числовых представлений лексикографически упорядоченных элементов множества <tex>A</tex>,
*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество комбинаторных объектов с префиксом от <tex>1</tex> до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>,

 '''int''' object2num(a: '''list<A>'''):
   numOfObject = 0                          
   '''for''' i = 1 '''to''' n                   <font color=green>// перебираем элементы комбинаторного объекта</font>
     '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1          <font color=green>// перебираем элементы, в лексикографическом порядке меньшие рассматриваемого</font>
       '''if''' элемент <tex>j</tex> можно поставить на <tex>i</tex>-e место
         numOfObject += d[i][j]
   '''return''' numOfObject
Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> {{---}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2,</tex> поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. 
Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.

== Битовые вектора ==
Рассмотрим алгоритм получения номера <tex>i</tex> в лексикографическом порядке данного битового вектора размера <tex>n</tex>.
Всего существует <tex>2^n</tex> битовых векторов длины <tex>n</tex>.
На каждой позиции может стоять один из двух элементов независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск элементов меньше рассматриваемого можно упростить до проверки элемента на равенство <tex>1</tex>: 
*<tex>\mathtt{bitvector[1..n]}</tex> {{---}} данный вектор,
*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} искомый номер вектора,

 '''int''' bitvector2num(bitvector: '''list<int>'''):
   numOfBitvector = 0
   '''for''' i = 1 '''to''' n                                        
     '''if''' bitvector[i] == 1  
       numOfBitvector += <tex>2^{n-i}</tex>
   '''return''' numOfBitvector

Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n) </tex>.

== Перестановки ==
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера <tex>n</tex>,
*<tex>\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} данная перестановка,
*<tex>\mathtt{P[1..n]}</tex> {{---}} количество перестановок данного размера,
*<tex>\mathtt{was[1..n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке,

 '''int''' permutation2num(a: '''list<int>'''):
   numOfPermutation = 0
   '''for''' i = 1 '''to''' n                        <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в перестановке</font> 
     '''for''' j = 1  '''to''' a[i] - 1              <font color=green>// перебираем элементы, лексикографически меньшие нашего, которые могут стоять на <tex>i</tex>-м месте</font>  
       '''if''' was[j] == ''false''                <font color=green>// если элемент <tex>j</tex> ранее не был использован</font> 
         numOfPermutation += P[n - i]    <font color=green>// все перестановки с префиксом длиной <tex>i-1</tex> равным нашему, и <tex>i</tex>-й элемент у которых</font>   
                                            <font color=green>меньше нашего в лексикографическом порядке, идут раньше данной перестановки</font>                
     was[a[i]] = ''true''                    <font color=green>// <tex>i</tex>-й элемент использован</font>            
   '''return''' numOfPermutation

Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n ^ 2) </tex> и <tex>O(n) </tex> для предподсчёта.

== Сочетания ==
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного сочетания из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>. Как известно, количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> обозначается как <tex dpi=140>\binom{n}{k}</tex>. Тогда число сочетаний, в которых на позиции <tex>1</tex> стоит значение <tex>val_1</tex>, равно <tex dpi=140>$$\sum\limits^{val_1-1}_{i=1} {\binom{n-i}{k-1}}$$</tex>; число сочетаний, в которых на позиции <tex>2</tex> стоит значение <tex>val_2</tex>, равно <tex dpi=140>$$\sum\limits^{val_2-1}_{i=val_1+1} {\binom{n-i}{k-2}}$$</tex>. Аналогично продолжаем по следующим позициям:
*<tex>\mathtt{numOfChoose}</tex> {{---}} искомый номер сочетания,
*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,
*<tex>\mathtt{choose[1..K]}</tex> {{---}} данное сочетание, состоящее из <tex>K</tex> чисел от <tex>1</tex> до <tex>N</tex>, из технических соображений припишем ноль в начало сочетания: <tex>\mathtt{choose[0] = 0}</tex>,

 '''int''' choose2num(choose: '''list<int>'''):
   numOfChoose = 0
   '''for''' i = 1 '''to''' K                                       
     '''for'''  j = choose[i - 1] + 1 '''to''' choose[i] - 1
       numOfChoose += C[N - j][K - i]
   '''return''' numOfChoose

Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(K \cdot N) </tex> и <tex>O(K \cdot N) </tex> для предподсчёта.

== Разбиение на слагаемые ==
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного разбиение на слагаемые числа <tex>N</tex>. Нужно помнить о том, что разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Из всех разбиений, получаемых перестановками слагаемых, выберем то, где слагаемые упорядочены лексикографически и будем строить его.  

*<tex>\mathtt{numOfPart}</tex> {{---}} искомый номер разбиения
*<tex>\mathtt{last}</tex> {{---}} последнее поставленное число в разбиении.
*<tex>\mathtt{sum}</tex> {{---}} сумма, которую мы уже поставили.
*<tex>\mathtt{part[1 \ldots N]}</tex> {{---}} данное разбиение
*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые, где каждое слагаемое <tex>\geqslant j</tex>.  

Пересчитывать <tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> будем по возрастанию <tex>i</tex>, а при равенстве <tex>i</tex> по убыванию <tex>j</tex>. 

Разбиение числа, в котором каждое слагаемое <tex> \geqslant j</tex> может либо содержать слагаемое <tex>j</tex>, таких разбиений <tex>\mathtt{d[i - j][j]}</tex>, либо не содержать, таких разбиений <tex>\mathtt{d[i][j + 1]}</tex>. 

Получаем рекуррентное соотношение для подсчёта <tex>d</tex>:

<p>
<tex dpi = "145">d[i][j] = 
\left \{\begin{array}{ll} 1, & i = j, \\ 0, & i < j  \\ d[i][j + 1] + d[i - j][j], & i > j \end{array} \right. 
</tex>
</p>


  '''int''' part2num(part: '''list<int>'''):
    numOfPart = 0
    '''for''' i = 1 '''to''' K  <font color=green>// <tex>K</tex> {{---}} количество слагаемых в исходном разбиении </font>    
      '''for''' j = last '''to''' part[i] - 1 <font color=green>// перебираем все элементы, лексикографически меньше нашего, но больше или равны предыдущего</font>    
        numOfPart += d[N - sum - j][j] <font color=green>// прибавляем количество перестановок, которые могли начинаться с <tex>j</tex></font>
      sum += part[i] <font color=green>// увеличиваем уже поставленную сумму</font>
      last = part[i] <font color=green>// обновляем последний поставленный элемент </font>
    '''return''' numOfPart <font color=green>// возвращаем ответ</font>

Стоит отметить, что количество итераций вложенного цикла не более, чем <tex>N</tex>, так как всего количество возможных слагаемых {{---}} <tex>N</tex>, и ни какое из них цикл не обработает дважды, поскольку каждый раз начинает с <tex>last</tex>, которое больше чем любое из обработанных чисел. Поэтому асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(N)</tex>.

Асимптотика алгоритма {{---}} <tex> O (N)</tex> и <tex>O(N^2)</tex> на предподсчёт.

== См. также ==
*[[Получение объекта по номеру|Получение объекта по номеру]]
*[[Получение следующего объекта|Получение следующего объекта]]
*[[Правильные скобочные последовательности#.D0.9F.D0.BE.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B0_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|Получение номера правильной скобочной последовательности]]

== Источники информации ==
*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31
*Дискретная математика. Теория и практика решения задач по информатике / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]