Изменения

Номер данного [[Комбинаторные объекты|комбинаторного объекта]] равен количеству меньших в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] комбинаторных объектов (нумерацию ведём с <tex>0</tex>). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины <tex>i</tex> совпадает, а <tex>i+1</tex> элемент лексикографически меньше <tex>(i+1)</tex>-го в данном объекте (<tex>i = 0..n-1</tex>). Следующий алгоритм вычисляет эту сумму:*<tex>\mathtt{numOfObject}</tex> {{---}} искомый номер комбинаторного объекта.,*<tex>\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} данный комбинаторный обьект, состоящий из числовых представлений лексикографически упорядоченных элементов множества <tex>A</tex>.,*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} (количество комбинаторных объектов с префиксом от <tex>1 </tex> до <tex>i-1</tex> равным данному и с <tex>i</tex>-м элементом равным <tex>j</tex>),

'''int''' object2num(a: '''list <A>''') :

'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' <font color=green>// перебираем элементы комбинаторного объекта</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 '''do''' <font color=green>// перебираем элементы, которые в лексикографическом порядке меньше меньшие рассматриваемого</font>

Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>, где <tex>k</tex> {{- --}} количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2,</tex> поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается.

Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера <tex>n</tex>.,*<tex>P\mathtt{a[1..n]}</tex> {{---}} количество перестановок данного размера.данная перестановка,*<tex>a\mathtt{P[1..n]}</tex> {{---}} данная перестановка.количество перестановок данного размера,*<tex>\mathtt{was[1..n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.,

'''int''' permutation2num(a: '''list <int>'''):

'''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' <font color=green>// <tex>n</tex> {{--- }} количество элементов в перестановке</font> '''for''' j = 1 '''to''' a[i] - 1 '''do''' <font color=green>// перебираем элементы, лексикографически меньшие нашего, которые могут стоять на <tex>i</tex>-м месте</font> '''if''' was[j] == ''false '' <font color=green>// если элемент <tex>j</tex> ранее не был использован</font>

was[a[i]] = ''true '' <font color=green>// <tex>i</tex>-й элемент использован</font>

Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(n ^ 2) </tex>и <tex>O(n) </tex> для предподсчёта.

Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного сочетания из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>. Как известно, количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> обозначается как <texdpi=140>C_n^\binom{n}{k}</tex>. Тогда число сочетаний, в которых на позиции <tex>1</tex> стоит значение <tex>val_1</tex>, равно <texdpi=140>$$\sum_sum\limits^{val_1-1}_{i=1}^{val_1-1} C_\binom{n-i}^{k-1}}$$</tex>; число сочетаний, в которых на позиции <tex>2</tex> стоит значение <tex>val_2</tex>, равно <texdpi=140>$$\sum_sum\limits^{val_2-1}_{i=val_1+1}^{val_2-1} C_\binom{n-i}^{k-2}}$$</tex>. Аналогично продолжаем по следующим позициям:*<tex>\mathtt{numOfChoose}</tex> {{---}} искомый номер сочетания.,*<tex>choose\mathtt{C[n][1..Kk]}</tex> {{---}} данное сочетание, состоящее количество сочетаний из <tex>Kn</tex> чисел от по <tex>1</tex> до <tex>Nk</tex>, <tex>choose\mathtt{C[n][0] = 01}</tex>.,*<tex>C\mathtt{choose[n][k1..K]}</tex> {{---}} количество сочетаний данное сочетание, состоящее из <tex>nK</tex> чисел от <tex>1</tex> по до <tex>kN</tex>, из технических соображений припишем ноль в начало сочетания: <tex>C[n]\mathtt{choose[0] = 10}</tex>.,

<font color=green>// Нумерация сочетаний с <tex>0</tex></font> '''int''' choose2num(choose: '''list <int>'''):

'''for''' i = 1 '''to''' K '''do''' '''for''' i j = choose[i - 1] + 1 '''to''' choose[i] - 1 '''do'''

Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(K \cdot N) </tex>и <tex>O(K \cdot N) </tex> для предподсчёта. == Разбиение на слагаемые ==Рассмотрим алгоритм получения номера, в лексикографическом порядке, по данному разбиению на слагаемые числа <tex>N</tex>. Нужно помнить о том, что разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Из всех разбиений, получаемых перестановками слагаемых, выберем то, где слагаемые упорядочены лексикографически, и будем строить его.  *<tex>\mathtt{numOfPart}</tex> {{---}} искомый номер разбиения*<tex>\mathtt{last}</tex> {{---}} последнее поставленное число в разбиении.*<tex>\mathtt{sum}</tex> {{---}} сумма, которую мы уже поставили.*<tex>\mathtt{part[1 \ldots N]}</tex> {{---}} данное разбиение*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые, где каждое слагаемое <tex>\geqslant j</tex>.  Пересчитывать <tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> будем по возрастанию <tex>i</tex>, а при равенстве <tex>i</tex> {{---}} по убыванию <tex>j</tex>.  Разбиение числа, в котором каждое слагаемое <tex> \geqslant j</tex> может либо содержать слагаемое <tex>j</tex> (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i - j][j]}</tex>), либо не содержать (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i][j + 1]}</tex>).  Получаем рекуррентное соотношение для подсчёта <tex>d</tex>: <p><tex dpi = "145">d[i][j] = \left \{\begin{array}{ll} 1, & i = j, \\ 0, & i < j \\ d[i][j + 1] + d[i - j][j], & i > j \end{array} \right. </tex></p>

'''int''' bitvector2numpart2num(bitvectorpart: '''list <int>'''): numOfBitvector numOfPart = 0, last = 0, sum = 0 '''for''' i = 1 '''to''' n part.size '''dofor''' j = last '''ifto''' bitvectorpart[i] - 1 <font color== 1 green>// перебираем все элементы, лексикографически меньшие текущего, но не меньшие предыдущего</font> numOfBitvector numOfPart += pow(2d[N - sum - j][j] <font color=green>// прибавляем количество перестановок, n - которые могли начинаться с <tex>j</tex></font> sum += part[i] <font color=green>// увеличиваем уже поставленную сумму</font> last = part[i)] <font color=green>// обновляем последний поставленный элемент </font> '''return''' numOfBitvectornumOfPart <font color=green>// возвращаем ответ</font> Стоит отметить, что количество итераций вложенного цикла не более, чем <tex>N</tex>, так как всего количество возможных слагаемых {{---}} <tex>N</tex>, и ни какое из них цикл не обработает дважды, поскольку каждый раз начинает с <tex>last</tex>, которое больше чем любое из обработанных чисел. Поэтому асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(N)</tex>.

Асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(nN) </tex>и <tex>O(N^2)</tex> на предподсчёт.

== Литература Источники информации ==