Изменения
Исправил опечатку с $$
== Сочетания ==
Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке данного сочетания из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>. Как известно, количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> обозначается как <tex dpi=140>\binom{n}{k}</tex>. Тогда число сочетаний, в которых на позиции <tex>1</tex> стоит значение <tex>val_1</tex>, равно <tex dpi=140>$$\sum\limits^{val_1-1}_{i=1} {\binom{n-i}{k-1}}$$</tex>; число сочетаний, в которых на позиции <tex>2</tex> стоит значение <tex>val_2</tex>, равно <tex dpi=140>$$\sum\limits^{val_2-1}_{i=val_1+1} {\binom{n-i}{k-2}}$$</tex>. Аналогично продолжаем по следующим позициям:
*<tex>\mathtt{numOfChoose}</tex> {{---}} искомый номер сочетания,
*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,
== Разбиение на слагаемые ==
Рассмотрим алгоритм получения номера , в лексикографическом порядке данного разбиение , по данному разбиению на слагаемые числа <tex>nN</tex>. Нужно помнить о том, что разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Из всех разбиений, получаемых перестановками слагаемых, выберем то, где слагаемые упорядочены лексикографически , и будем строить его.
*<tex>\mathtt{numOfPart}</tex> {{---}} искомый номер разбиения
*<tex>\mathtt{last}</tex> {{---}} последнее поставленное число в разбиении.
*<tex>\mathtt{sum}</tex> {{---}} сумма, которую мы уже поставили.
*<tex>\mathtt{part[1..\ldots N]}</tex> {{---}} данное разбиение
*<tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> {{---}} количество разбиений числа <tex>i</tex> на слагаемые, где каждое слагаемое <tex>\geqslant j</tex>.
Пересчитывать <tex>\mathtt{d[i][j]}</tex> будем по возрастанию <tex>i</tex>, а при равенстве <tex>i</tex> {{---}} по убыванию <tex>j</tex>.
Разбиение числа, в котором каждое слагаемое <tex> \geqslant j</tex> может либо содержать слагаемое <tex>j</tex>, (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i - j][j]}</tex>), либо не содержать, (таких разбиений <tex>\mathtt{d[i][j + 1]}</tex>).
Получаем рекуррентное соотношение для подсчёта <tex>d</tex>:
<p>
<tex dpi = "145">d[i][j] =
\left \{\begin{array}{ll} 1, & i = j, \\ 0, & i < j \\ d[i][j + 1] + dpd[i - j][j], & i > j \end{array} \right.
</tex>
</p>
Асимптотика алгоритма {{---}} <tex> O (N)</tex> и <tex>O(N^2)</tex> на предподсчёт.