Редактирование: Получение следующего объекта

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
+
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' - это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.
 
}}
 
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.
+
Пусть дан объект <tex>P</tex>. Назовем объект <tex>Q</tex> следующим, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>M</tex>, что <tex>P < M < Q</tex>.
  
 
Отсюда понятен алгоритм:
 
Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
+
* Находим минимальный суффикс в объекте <tex>P</tex>, который можно увеличить, не меняя префикс
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
+
* К префиксу дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>)
* дописываем минимальный возможный хвост.
+
* Дописываем минимальный возможный хвост
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
 
  
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
+
Двигаемся справа налево по элементам объекта, пока не найдем элемент 0. Заменим его на 1, а все элементы справа на нули.
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>  
+
<code>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
+
bool next_vec(vector<int> &a) {
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font>
+
    int n = a.size();
  '''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
+
    int pos = n - 1;
      a[n] = 0
+
     
      n--
+
    while (pos != -1 && a[pos] == 1) --pos;
  '''if''' n == -1
+
    if (pos == -1) return false;
     '''return''' ''null''
+
  a[n] = 1
+
     a[pos] = 1;
  '''return''' a
+
    for (int i = pos + 1; i < n; ++i) a[i] = 0;
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
+
    return true;
 +
}
 +
</code>
 
=== Пример работы ===
 
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
+
{| border="1"
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
+
|0||1||0||1||1||исходный битовый вектор
 
|-
 
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
+
| || ||^|| || ||находим элемент 0 (самый правый)
 
|-
 
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
+
| || ||1||1||1||меняем его на 1
 
|-
 
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
+
| || ||1||0||0||меняем элементы правее на нули
 
|-
 
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
+
|0||1||1||0||0||следующий битовый вектор
 
|}
 
|}
 
 
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
 
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
+
Двигаемся справа налево по элементам объекта, пока не найдем элемент, нарушающий убывающую последовательность. Обменяем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее. Далее перевернем правую часть.
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
+
<code>
* Перевернем правую часть
+
  bool next_permutation(vector<int> &a) {
 
+
    int n = a.size();
  '''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font>
+
    int pos = n - 2;
  '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
+
   
     '''if''' a[i] < a[i + 1]
+
     while (pos != -1 && a[pos] > a[pos + 1]) --pos;
      min = i + 1;
+
    if (pos == -1) return false;  
      '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
+
   
        '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
+
    int k = n - 1;
          min = j
+
    while (a[pos] > a[k]) --k;
      swap(a[i], a[min])
+
    swap(a[pos], a[k]);
      reverse(a, i + 1, n - 1)
+
   
      '''return''' a
+
    int l = pos + 1, r = n - 1;
  '''return''' ''null''
+
    while (l < r) swap(a[l++], a[r--]);
 
+
    return true;
 +
}
 +
</code>
 
=== Пример работы ===
 
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
+
{| border="1"
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
+
|1||3||2||5||4||исходная перестановка
 
|-
 
|-
 
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
 
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
Строка 62: Строка 63:
 
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
 
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
 
|-
 
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
+
| || ||4||5||2||меняем их местами
|-
 
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
 
|-
 
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
 
|}
 
 
 
== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
 
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
 
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
 
* Переворачиваем правую часть.
 
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b):  <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font>
 
    i = n - 2
 
    '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
 
      i--
 
    '''if''' i >= 0
 
      j = i + 1
 
      '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
 
        j++
 
      swap(b[i] , b[j])
 
      reverse(b, i + 1, n - 1)
 
      '''return''' b
 
    '''else'''
 
      '''return''' ''null''
 
 
 
=== Пример работы ===
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
 
|-
 
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
 
|-
 
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
 
|-
 
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
 
|-
 
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
 
|}
 
 
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==
 
 
 
* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
 
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
 
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
 
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font>
 
  '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
 
    b[i] = a[i]
 
  b[k] = n + 1
 
  i = k - 1
 
  '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
 
    i--
 
  '''if''' i >= 0
 
      b[i]++
 
      '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
 
        b[j] = b[j - 1] + 1
 
      '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
 
        a[i] = b[i]
 
      '''return''' a
 
  '''else'''
 
    '''return''' ''null''
 
 
 
=== Пример работы ===
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
 
|-
 
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
 
|-
 
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
 
|-
 
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
 
|-
 
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
 
|-
 
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
 
|}
 
 
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
 
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
 
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
 
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
 
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
 
 
 
<code>
 
<font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font>
 
'''list<int>'''  nextPartition('''list<int>''' b):
 
    b[b.size - 1]--
 
    b[b.size - 2]++
 
    '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
 
      b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
 
      b.remove(b.size - 1)
 
    '''else'''
 
      '''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
 
        b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
 
        b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
 
    '''return''' b
 
</code>
 
 
 
=== Пример работы ===
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
 
|-
 
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
 
|-
 
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
 
 
|-
 
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
+
| || || ||2||5||разворачивам правую часть
 
|-
 
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
+
|1||3||4||2||5||следующая перестановка
 
|}
 
|}
  
{| class="wikitable" border = 1
+
== Ссылки ==
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
 
|-
 
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
 
|-
 
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
 
|-
 
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
 
|}
 
 
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==
 
 
 
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
 
 
 
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
 
 
 
*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
 
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
 
 
 
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
 
 
 
 
 
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
 
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
 
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3
 
|-
 
|4||5||
 
|}
 
 
 
* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
 
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
 
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
 
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.
 
 
 
<code>
 
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
 
  <font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font>
 
  <font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
 
  used = '''list<int>'''
 
  fl = ''false''
 
  '''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
 
      '''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1])  <font color=green>// если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font>
 
          a[i].add(used[used.size - 1])  <font color=green>//добавляем</font>
 
          used.remove(used.size - 1)
 
          '''break'''
 
      '''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
 
          '''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][j])    <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font>
 
            a[i][j] = used[used.size - 1]  <font color=green>//заменяем</font>
 
            fl = ''true''
 
            '''break'''
 
      '''if''' fl '''break'''
 
      used.add(a[i][j])  <font color=green>//добавляем в <tex>used</tex> <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
 
      a[i].remove(j)  <font color=green>//удаляем <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
 
  <font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font>
 
  sort(used)
 
  '''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
 
    a.add('''list<int>'''(used[i]))  <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
 
  '''return''' a
 
</code>
 
 
 
=== Пример работы ===
 
 
 
'''Рассмотрим следующее разбиение:'''
 
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3
 
|-
 
|4||5||
 
|}
 
 
 
'''1 Шаг:'''
 
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||
 
|-
 
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
 
|-
 
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
 
|-
 
| || || ||used
 
|}
 
 
 
 
 
'''2 Шаг:'''
 
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||
 
|-
 
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
 
|-
 
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
 
|-
 
|5|| || ||used
 
|}
 
 
 
 
 
'''3 Шаг:'''
 
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
 
|-
 
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
 
|-
 
|5|| || || ||used
 
|} 
 
 
 
 
 
'''4 Шаг:'''
 
   
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||4||
 
|-
 
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
 
|-
 
| || || || ||used
 
|}
 
 
 
== См.также ==
 
* [[Получение предыдущего объекта]]
 
* [[Получение объекта по номеру]]
 
* [[Получение номера по объекту]]
 
 
 
== Источники информации ==
 
 
 
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
 
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]
 
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Комбинаторика]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: