Редактирование: Получение следующего объекта

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 +
==Комбинаторные объекты==
 +
[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B Комбинаторные объекты - Википедия]
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Строка 6: Строка 8:
  
 
Отсюда понятен алгоритм:
 
Отсюда понятен алгоритм:
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
+
* Находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
+
* К оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>)
* дописываем минимальный возможный хвост.
+
* Дописываем минимальный возможный хвост
 
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
 
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
  
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
+
* Находим минимальный суффикс, в котором есть 0, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
+
* Вместо 0 записываем 1  
 
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
 
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font>
+
  '''for''' i = n '''downto''' 1
  '''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
+
      '''if''' a[i] == 0
      a[n] = 0
+
          a[i] = 1
      n--
+
          '''for''' j = i + 1 to n
  '''if''' n == -1
+
              a[j] = 0
    '''return''' ''null''
+
          '''break'''
  a[n] = 1
+
 
  '''return''' a
 
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
 
 
=== Пример работы ===
 
=== Пример работы ===
 
{| class="wikitable" border = 1
 
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
+
|0||1||style="background:#FFCC00"|0||1||1||исходный битовый вектор
 
|-
 
|-
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
+
| || ||^|| || ||находим элемент 0 (самый правый)
 
|-
 
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
+
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||1||1||меняем его на 1
 
|-
 
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
+
|0||1||1||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0||меняем элементы правее на нули
 
|-
 
|-
 
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
 
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
Строка 38: Строка 38:
  
 
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
 
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
+
* Двигаясь справа налево, находим элаемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
 
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
 
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
 
* Перевернем правую часть
 
* Перевернем правую часть
  
'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font>
+
  '''for''' i = n - 1 '''downto''' 1
  '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
+
      '''if''' a[i] < a[i + 1]
    '''if''' a[i] < a[i + 1]
+
          // a[j] = min {a[j] > a[i], где j > i}
      min = i + 1;
+
          swap(a[i], a[j])
      '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
+
          reverse(a[i + 1]..a[n])
        '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
+
          '''break'''
          min = j
 
      swap(a[i], a[min])
 
      reverse(a, i + 1, n - 1)
 
      '''return''' a
 
  '''return''' ''null''  
 
  
 
=== Пример работы ===
 
=== Пример работы ===
Строка 73: Строка 68:
 
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
 
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
 
* Переворачиваем правую часть.
 
* Переворачиваем правую часть.
  '''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font>
+
  '''procedure''' nextMultiperm(var b:array[1..N] of integer);
    i = n - 2
+
  '''var''' i , j : '''integer''';
    '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])  
+
  '''begin'''
      i--
+
    i := N -   1;
    '''if''' i >= 0  
+
    '''while''' (i > 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) '''do'''
       j = i + 1
+
    dec(i);
       '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])  
+
    '''if''' i > 0 '''then'''
         j++
+
    '''begin'''
       swap(b[i] , b[j])
+
       j := i + 1;
       reverse(b, i + 1, n - 1)
+
       '''while''' (j < N) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) '''do'''
      '''return''' b
+
         inc(j);
     '''else'''
+
       swap(b[i] , b[j]);
       '''return''' ''null''
+
       '''for''' j := i + 1 '''to''' (N + i) '''div''' 2 '''do'''
 +
        swap(b[j], b[N - j + i + 1]);
 +
      write(b[1..N]);
 +
    '''end'''
 +
    '''else'''
 +
     '''begin'''
 +
       write('null');
 +
    '''end;'''
 +
  '''end;'''
  
 
=== Пример работы ===
 
=== Пример работы ===
Строка 102: Строка 105:
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==
  
* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
+
* Добавим в конец массива с сочетанием N+1 – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
+
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на 2.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
+
* Увеличим найденный элемент на 1, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
  '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font>
+
  procedure nextChoose(var a:array[1..N+1] of integer); // n,k - параметры сочетания.
  '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
+
  '''var''' i,j : '''integer;'''
    b[i] = a[i]
+
  '''begin'''
   b[k] = n + 1
+
   a[k + 1] := n + 1;
   i = k - 1
+
   i := n;
   '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)  
+
   '''while''' (i > 0) '''and''' ((a[i + 1] - a[i]) < 2) '''do'''
     i--
+
     i := i - 1;
   '''if''' i >= 0  
+
   '''if''' i > 0 '''then'''
      b[i]++
+
    '''begin'''
      '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
+
      a[i] := a[i] + 1;
        b[j] = b[j - 1] + 1
+
       '''for''' j := i + 1 '''to''' k '''do'''
       '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
+
      a[j] := a[j - 1] + 1;
        a[i] = b[i]
+
       write(a[1..n]);
       '''return''' a
+
    '''end'''
 
   '''else'''
 
   '''else'''
    '''return''' ''null''
+
    write('null');
 +
  '''end;'''
  
 
=== Пример работы ===
 
=== Пример работы ===
Строка 138: Строка 142:
  
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
+
 
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
+
* Увеличим предпоследнее число на 1, уменьшим последнее на 1.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
+
* Если предпоследний элемент стал больше последнего, то увеличиваем предпоследний элемент на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
+
* Если предпоследний элемент меньше последнего, то проверяем, можем ли мы разбить последний элемент на сумму предпоследних. Если да – разбиваем, пока предпоследний*2 < последнего.
  
 
<code>
 
<code>
  <font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font>
+
  // Алгоритм работает только для лексико-графического порядка.
  '''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b):  
+
// b – массив, содержащий разбиение данного числа, length – его размер.
     b[b.size - 1]--
+
  '''procedure''' nextPartition(var b:array[1..length] of integer);
     b[b.size - 2]++
+
  '''var''' i : '''integer;'''
     '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]  
+
  '''begin''' 
       b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
+
     b[length] := b[length] - 1;
       b.remove(b.size - 1)
+
     b[length - 1] := b[length - 1] + 1;
 +
     '''if''' b[length - 1] > b[length] '''then'''
 +
    '''begin'''
 +
       b[length - 1] := b[length - 1] + b[length];
 +
       length := length - 1;
 +
    '''end'''
 
     '''else'''
 
     '''else'''
       '''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]  
+
    '''begin'''
         b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
+
      i := 0;
         b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
+
       '''while''' b[length - 1] * 2 <= b[length + i] '''do'''
    '''return''' b
+
      '''begin'''
 +
         b[length + i + 1] := b[length + i] - b[length - 1];
 +
         b[length + i] := b[length - 1];
 +
        i := i + 1;
 +
      '''end;'''
 +
      length := length + i;
 +
    '''end;'''
 +
    write(b[1..length];
 +
  '''end;'''
 
</code>
 
</code>
  
Строка 162: Строка 179:
 
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
 
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
 
|-
 
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
+
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2<6, значит разбиваем 6 пока оно не станет <4
 
|-
 
|-
 
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
 
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
Строка 169: Строка 186:
 
|-
 
|-
 
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
 
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
 
|-
 
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
 
|-
 
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
 
|-
 
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
 
 
|}
 
|}
  
Строка 184: Строка 191:
  
 
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
 
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
 +
 +
{{Определение
 +
|id=def1.
 +
|definition='''Разбиением на множества''' называется представление множества, как объединения одного или более попарно
 +
непересекающихся подмножеств множеств.
 +
}}
 +
Например, для <tex>n = 5</tex> существуют следующие разбиения:
 +
 +
<tex> \{1, 2, 3, 4, 5\}</tex>
 +
 +
<tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex>
 +
 +
<tex> \{1, 3, 5\}~ \{2, 4\}</tex>
 +
 +
<tex> \{1\}~\{2\}~\{3\}~\{4\}~\{5\}</tex>
 +
 +
и т. д., всего таких разбиений для <tex>n = 5</tex> существует 52.
 +
 +
'''Примечание:'''
 +
<tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> и <tex>\{4, 5\} ~\{1, 2, 3\}</tex> - одно и то же разбиение на подмножества.
  
 
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
 
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
Строка 194: Строка 221:
  
 
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
 
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
+
*Будем хранить подмножества с помощью двумерного массива, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
  
 
{| class="wikitable" border = 1
 
{| class="wikitable" border = 1
Строка 203: Строка 230:
  
 
* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
 
* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
+
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить 1ый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
 
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
 
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
 
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.
 
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.
  
 
<code>
 
<code>
  '''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
+
  // a - матрица, содержащая подмножества
  <font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font>
+
// used - массив, в котором мы храним удаленные элементы
  <font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
+
fl = ''false''
  used = '''list<int>'''
+
'''for''' i = n - 1 '''downto''' 0
  fl = ''false''
+
    '''if''' можем добавить в конец подмножества элемент из used
  '''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
+
        добавляем
      '''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1])  <font color=green>// если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font>
+
        '''break'''
          a[i].add(used[used.size - 1])  <font color=green>//добавляем</font>
+
    '''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
          used.remove(used.size - 1)
+
        '''if''' можем заменить элемент, другим элементом из массива used  
          '''break'''
+
            заменяем
      '''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
+
            fl = ''true''
          '''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][j])    <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font>
+
            '''break'''
            a[i][j] = used[used.size - 1]  <font color=green>//заменяем</font>
+
        used.add(a[i][j])  // удаляем элемент и добавляем его в массив
            fl = ''true''
+
    '''if''' (fl) '''break'''
            '''break'''
+
// далее выведем все получившиеся подмножества
      '''if''' fl '''break'''
+
sort(used)
      used.add(a[i][j])  <font color=green>//добавляем в <tex>used</tex> <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
+
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
      a[i].remove(j)   <font color=green>//удаляем <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
+
    println(used[i])       // выводим лексикографически минимальных хвост
  <font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font>
 
  sort(used)
 
  '''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
 
    a.add('''list<int>'''(used[i]))  <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
 
  '''return''' a
 
 
</code>  
 
</code>  
  
Строка 290: Строка 312:
 
|}
 
|}
  
== См.также ==
+
== Ссылки ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
 
 
* [[Получение объекта по номеру]]
 
* [[Получение объекта по номеру]]
 
* [[Получение номера по объекту]]
 
* [[Получение номера по объекту]]
 
== Источники информации ==
 
 
 
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
 
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
 
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]
 
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: