Изменения

{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{- --}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].

Пусть дан объект Объект <tex>PQ</tex>. Назовем объект называется следующим за <tex>QP</tex> следующим, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>MR</tex>, что <tex>P < M R < Q</tex>.

* Находим минимальный находим суффикс в объекте минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>, который можно увеличить, не меняя префикс* К префиксу к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* Дописываем дописываем минимальный возможный хвост.По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.

Двигаемся * Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex> * Дописываем минимально возможный хвост из нулей '''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font> '''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0) a[n] = 0 n-- '''if''' n == -1 '''return''' ''null'' a[n] = 1 '''return''' aПриведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору. === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор|-| || || || ||^|| начинаем идти с конца|-|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0|-|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1|-|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор|} == Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==* Двигаясь справа налево по элементам объекта, пока не найдем находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее* Перевернем правую часть  '''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0 '''if''' a[i] < a[i + 1] min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1 '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i]) min = j swap(a[i], a[min]) reverse(a, i + 1, n - 1) '''return''' a '''return''' ''null''  === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка|-| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность|-| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего|-|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами|-|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка|} == Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.* Переворачиваем правую часть. '''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font> i = n - 2 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) i-- '''if''' i >= 0 j = i + 1 '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) j++ swap(b[i] , b[j]) reverse(b, i + 1, n - 1) '''return''' b '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.|-| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.|-| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.|-|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.|-|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания == * Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание. '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font> '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 b[i] = a[i] b[k] = n + 1 i = k - 1 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2) i-- '''if''' i >= 0 b[i]++ '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1 b[j] = b[j - 1] + 1 '''for''' i = 0'''to''' k - 1 a[i] = b[i] '''return''' a '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания. Заменим |-|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''|||-| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2|-|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.|-|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а все элементы справа на нули<tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего. 

bool next_vec<font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font> '''list<int>''' nextPartition(vector'''list<int> &a''' b) {: int n = a b[b.size(); int pos = n - 1;]-- b[b.size - 2]++ while (pos != '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size -1 && a] b[posb.size - 2] +== b[b.size - 1) --pos;] if b.remove(pos == b.size -1) return false; '''else''' a '''while''' b[posb.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1;] for b.add(int i = pos + b[b.size - 1; i < n; ++i] - b[b.size - 2]) a b[ib.size - 2] = 0;b[b.size - 3] '''return true; }''' b

{| class="wikitable" border="1"|01||style="background:#FFCC00"|1||0style="background:#FFCC00"|7||1||1||исходный битовый векторПрибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.

| 1|| style="background:#FFCC00"|2|^|style="background:#FFCC00"| 6|| ||находим элемент 0 (самый правый)||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4

| 1||2|| style="background:#FFCC00"|2|1|style="background:#FFCC00"|14||1||меняем его на 1

| 1||2|| 2||1style="background:#FFCC00"|2|0|style="background:#FFCC00"|02||меняем элементы правее на нули

|0'''1'''||1'''2'''||1'''2'''||0'''2'''||0'''2'''||следующий битовый векторСледующее разбиение на слагаемые числа 9.

 {| class="wikitable" border = 1|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.|-|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.|-|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.|-|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.|} == Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки следующего разбиения на подмножества == Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex> Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий: *существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>. Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 =B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} =B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.  '''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''Двигаемся *Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так: {| class="wikitable" border = 1|1||2||3|-|4||5|| |} * Двигаясь снизу вверх и справа налево по элементам объекта, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не найдем сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:** Заменить рассматриваемый элементуже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить первый элемент подмножества, нарушающий убывающую последовательностьмы можем только удалить его. Обменяем его с минимальным ** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом, большим нашего, стоящим правее. Далее перевернем правую частьИз всех подходящих элементов выбираем минимальный.* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов. 

bool next_permutation'''list<list<int>>''' nextSetPartition(vector'''list<list<int> &>''' a) : <font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font> <font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font> used = '''list<int n >''' fl = ''false'' '''for''' i = a.size(); int pos = n - 2;1 '''downto''' 0 while '''if''' (pos used.size != 0) '''and''' (used[used.size -1 && ] > a[posi] [a[i].size - 1]) <font color=green> // если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font> a[pos + i].add(used[used.size - 1]) --pos; <font color=green>//добавляем</font> if used.remove(pos == used.size -1) return false; '''break''' int k '''for''' j = n a[i].size - 1;'''downto''' 0 while '''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[posi] [j]) <font color=green> //если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font> a[ki]) [j] = used[used.size --k;1] <font color=green>//заменяем</font> fl = ''true'' '''break''' '''if''' fl '''break''' swap used.add(a[posi], [j]) <font color=green>//добавляем в <tex>used</tex> <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font> a[ki].remove(j); <font color=green>//удаляем <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font> <font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font> sort(used) int l '''for''' i = pos + 1, r = n 0 '''to''' used.size - 1; while a.add(l '''list< r) swapint>'''(aused[l++], a[r--i]);) <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font> '''return true; }''' a</code> 

 '''Рассмотрим следующее разбиение:''' {| class="wikitable" border="1"|1||3||2||5||4||исходная перестановка3

| 4|| 5|| |} '''1 Шаг:''' {| class="wikitable" border = 1|1||2||3|||-|4||style="background:#FFCC00"|5|||||-| ||^|| ||Удалили элемент 5.|-| || || ||used|}  '''2 Шаг:''' {| class="wikitable" border = 1|1||2||3|||-|style="background:#FFCC00"|4|| |||||-|^|| || ||находим Удалили элемент4. Так как он является первым в подмножестве, нарушающий убывающую последовательностьто мы не можем заменить его на другой.|-|5|| || ||used|}  '''3 Шаг:''' {| class="wikitable" border = 1|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||

| || || || ||^||минимальный элемент больше нашегоДополнили первое подмножество элементом 4

|5|| || | || |used|}   '''4Шаг:''' {|class="wikitable" border = 1|51||2||меняем их местами3||4||

| style="background:#FFCC00"|5| || ||2||5||разворачивам правую частьДописали лексикографически минимальный хвост

|1||3||4||2||5||следующая перестановкаused

== Ссылки См.также ==* [[Получение предыдущего объекта]]* [[Получение объекта по номеру]]* [[Получение номера по объекту]] == Источники информации == * [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]]