Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Получение следующего объекта

7423 байта добавлено, 01:25, 16 декабря 2017
Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания
 
== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
Отсюда понятен алгоритм:
* Находим находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,* К к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* Дописываем дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части* Вместо <tex>0 </tex> записываем <tex>1 </tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора<code/font> for i '''while''' (n >= n downto 1 if 0) '''and''' (a[in] =!= 0) a[in] = 10 n-- for j '''if''' n = i + = -1 to n '''return''' ''null'' a[jn] = 01 break '''return''' a</code>Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|0||1||1||исходный битовый вектор
|-
| || ||^|| || ^||находим элемент 0 (самый правый)начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|10||style="background:#FFCC00"|10||пока элементы равны 1||меняем его , заменяем их на 10
|-
|0||1||1||style="background:#FFCC00"|1||0||style="background:#FFCC00"|0||меняем элементы правее первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на нули1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элаементэлемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть
  '''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <codetex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for ''' i = n - 1 2 '''downto 1''' 0 '''if ''' a[i] < a[i + 1] min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1 // '''if''' (a[j] = < a[min {]) '''and''' (a[j] > a[i], где ) min = j > i} swap(a[i], a[jmin]) reverse(a[, i + 1] .. a[, n]- 1) break '''return''' a '''return''' ''null'' </code>
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|}
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества следующей мультиперестановки ==* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.* Переворачиваем правую часть. '''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{Определение---}} длина мультиперестановки</font> i = n - 2 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) i-- '''if''' i >= 0 j = i + 1 '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) j++ swap(b[i] , b[j]) reverse(b, i + 1, n - 1) '''return''' b '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|id1||2||3||1||style=def1"background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.|-| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.|-| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего. |definition-|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.|-|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''Разбиением на множества2''' называется представление множества||Следующая мультиперестановка.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания == * Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, как объединения одного или болееи допишем в конец минимально возможный хвост, попарнонепересекающихся подмножеств множествесли такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание. '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}}параметры сочетания</font> '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 Например для b[i] = a[i] b[k] = n + 1 i = k - 1 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2) i-- '''if''' i >= 0 b[i]++ '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1 b[j] = b[j - 1] + 1 '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 a[i] = b[i] '''return''' a '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''|||-| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2|-|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.|-|1||3||style= "background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5 существуют следующие разбиения||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.|}
'''{== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, 3а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, 4пока разбиение остается корректным, 5}'''то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
<code> <font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font> '''list<int>''{' nextPartition('''list<int>''' b): b[b.size - 1]-- b[b.size - 2]++ '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1] b[b.size - 2] += b[b.size - 1] b.remove(b.size - 1) '''else''' '''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1] b.add(b[b.size - 1, ] - b[b.size - 2]) b[b.size - 2, ] = b[b.size - 3} {4, 5}] '''return'''b</code>
'''=== Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, 3вычтем 7 - 1.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, 5} {значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4|-|1||2||style="background:#FFCC00"|2, ||style="background:#FFCC00"|4}|| |||-|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2|||-|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.|}
{| class="wikitable" border = 1|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.|-|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.|-|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.|-|'''{1} {2} {3} {4} {5}'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.|}
и т. д., всего таких разбиений == Специализация алгоритма для n генерации следующего разбиения на подмножества == 5 существует 52.
'''ПримечаниеРассмотрим множество первых n натуральных чисел:'''<tex>N_n = \{1, 2, 3} {4, 5} и {4..., 5n\} {1, 2, 3} - одно и то же разбиение на подмножества.</tex>
Упорядочим все разбиения на множества Nn <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого , во-первых , в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
*существует <tex>i </tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin AB</tex>, для всех <tex>j < i: <tex>j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i </tex> такое что <tex>k \in B</tex>;* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j </tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества с помощью двумерного массивав списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\} </tex> будет выглядеть так:
{| class="wikitable" border = 1
|}
* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не выполнится сможем выполнить одно из условий действий, описанных ниже:** Каждый раз, рассматривая новый Заменить рассматриваемый элемент, будем пытаться заменить его уже удаленным элементом из нашего массива, так, чтобы не нарушалась возрастающая последовательность элементов в этом подмножестве. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить 1ый первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.** Каждый раз, переходя в новое Дополнить рассматриваемое подмножество, будем пытаться дополнить его уже удаленным элементом из уже удаленных, так, чтобы не нарушалась возрастающая последовательность элементов в этом подмножестве. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.
<code>
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a): <font color=green>// <tex>a </tex> {{- матрица содержащая --}} список, содержащий подмножества</font> <font color=green>// <tex>used </tex> {{- массив --}} список, в котором мы храним, удаленные элементы</font> used = '''list<int>''' fl = ''false'' '''for ''' i = n a.size - 1 '''downto ''' 0 '''if ''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1]) <font color=green>/*/ если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used*</tex></ font> a[i].add(used[used.size - 1]) <font color=green>// добавляем</font> used.remove(used.size - 1) '''break;''' '''for ''' j = a[i].size() - 1 '''downto ''' 0 '''if ''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][j]) <font color=green>/* /если можем заменить элемент, другим элементом из массива списка <tex>used*</tex> </ font> a[i][j] = used[used.size - 1] <font color=green>//заменяем</font> fl = ''true'' '''break''' '''if''' fl '''break;''' used.add(a[i][j]); <font color=green>//удаляем элемент и добавляем его в массив<tex>used</tex> <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font> printsets a[i].remove(j); <font color=green>//удаляем <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font> <font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font> sort(used) '''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1 a.add('''list<int>'''(used[i])) <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font> '''return''' a
</code>
|-
| || || || ||used
|}  == Ссылки См.также ==* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]
 
== Источники информации ==
 
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]
Анонимный участник

Навигация