Получение следующего объекта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания)
(Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания)
 
(не показано 39 промежуточных версий 10 участников)
Строка 6: Строка 6:
  
 
Отсюда понятен алгоритм:
 
Отсюда понятен алгоритм:
* Находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>
+
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
* К оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>)
+
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
* Дописываем минимальный возможный хвост
+
* дописываем минимальный возможный хвост.
 
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
 
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
  
Строка 15: Строка 15:
 
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>  
 
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>  
 
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
 
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
  '''int[]''' nextVector(int[] a) <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font>
+
  '''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font>
 
   '''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
 
   '''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
 
       a[n] = 0
 
       a[n] = 0
 
       n--
 
       n--
 +
  '''if''' n == -1
 +
    '''return''' ''null''
 
   a[n] = 1
 
   a[n] = 1
 
   '''return''' a
 
   '''return''' a
Строка 40: Строка 42:
 
* Перевернем правую часть
 
* Перевернем правую часть
  
  '''int[]''' nextPermutation(int[] a) <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font>
+
  '''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font>
   '''for''' i = n - 1 '''downto''' 1
+
   '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
 
     '''if''' a[i] < a[i + 1]
 
     '''if''' a[i] < a[i + 1]
       min = i + 1
+
       min = i + 1;
       '''for''' j = i + 1 '''to''' n
+
       '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
 
         '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
 
         '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
 
           min = j
 
           min = j
       swap(a[i], a[j])
+
       swap(a[i], a[min])
       std::reverse(a[i + 1]..a[n])
+
       reverse(a, i + 1, n - 1)
       '''break'''
+
       '''return''' a
   '''return''' a
+
   '''return''' ''null''
  
 
=== Пример работы ===
 
=== Пример работы ===
Строка 71: Строка 73:
 
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
 
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
 
* Переворачиваем правую часть.
 
* Переворачиваем правую часть.
  '''int[]''' nextMultiperm(int[] b)  <font color=green>// <tex>N</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font>
+
  '''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font>
     i = N - 1
+
     i = n - 2
     '''while''' (i > 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])  
+
     '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])  
 
       i--
 
       i--
     '''if''' i > 0  
+
     '''if''' i >= 0  
 
       j = i + 1
 
       j = i + 1
       '''while''' (j < N) '''and''' (b[j + 1] > b[i])  
+
       '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])  
 
         j++
 
         j++
 
       swap(b[i] , b[j])
 
       swap(b[i] , b[j])
       '''for''' j = i + 1 '''to''' (N + i) '''div''' 2
+
       reverse(b, i + 1, n - 1)
        swap(b[j], b[N - j + i + 1])
+
       '''return''' b
       '''return'''(b[1..N])
 
 
     '''else'''
 
     '''else'''
 
       '''return''' ''null''
 
       '''return''' ''null''
Строка 102: Строка 103:
  
 
* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
 
* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex>.
+
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
 
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
 
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
  '''int[]''' nextChoose(int[] a) <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font>
+
  '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font>
   '''for''' i = 1 '''to''' k  
+
   '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
 
     b[i] = a[i]
 
     b[i] = a[i]
   b[k + 1] = n + 1
+
   b[k] = n + 1
   i = n
+
   i = k - 1
   '''while''' (i > 0) '''and''' ((b[i + 1] - b[i]) < 2)  
+
   '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)  
 
     i--
 
     i--
   '''if''' i > 0  
+
   '''if''' i >= 0  
 
       b[i]++
 
       b[i]++
       '''for''' j = i + 1 '''to''' k  
+
       '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
 
         b[j] = b[j - 1] + 1
 
         b[j] = b[j - 1] + 1
       '''for''' i = 1 '''to''' k  
+
       '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
 
         a[i] = b[i]
 
         a[i] = b[i]
       '''return'''(a[1..k])
+
       '''return''' a
 
   '''else'''
 
   '''else'''
 
     '''return''' ''null''
 
     '''return''' ''null''
Строка 140: Строка 141:
 
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
 
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
 
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
 
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
+
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
  
 
<code>
 
<code>
  <font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа, <tex>b.size</tex>{{---}} его размер.</font>
+
  <font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font>
  '''list<int>'''  nextPartition('''list<int>''' b)
+
  '''list<int>'''  nextPartition('''list<int>''' b):
     b[b.size]--
+
     b[b.size - 1]--
     b[b.size - 1]++
+
     b[b.size - 2]++
     '''if''' b[b.size - 1] > b[b.size]  
+
     '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]  
       b[b.size - 1] += b[b.size]
+
       b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
       b.remove(b.size())
+
       b.remove(b.size - 1)
 
     '''else'''
 
     '''else'''
       '''while''' b[b.size - 1] * 2 <= b[b.size]  
+
       '''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]  
         b.add(b[b.size] - b[b.size - 1])
+
         b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
         b[b.size - 1] = b[b.size - 2]
+
         b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
 
     '''return''' b
 
     '''return''' b
 
</code>
 
</code>
Строка 207: Строка 208:
  
 
<code>
 
<code>
  '''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a)
+
  '''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
 
   <font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font>
 
   <font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font>
 
   <font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
 
   <font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
 
   used = '''list<int>'''
 
   used = '''list<int>'''
 
   fl = ''false''
 
   fl = ''false''
   '''for''' i = a.size '''downto''' 1
+
   '''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
       '''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size] > a[i][a[i].size])  <font color=green>// если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font>
+
       '''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1])  <font color=green>// если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font>
           a[i].add(used[used.size])  <font color=green>//добавляем</font>
+
           a[i].add(used[used.size - 1])  <font color=green>//добавляем</font>
           used.remove(used.size)
+
           used.remove(used.size - 1)
 
           '''break'''
 
           '''break'''
       '''for''' j = a[i].size '''downto''' 1
+
       '''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
           '''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 1) '''and''' (used[used.size] > a[i][j])    <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font>
+
           '''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][j])    <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font>
             a[i][j] = used[used.size]  <font color=green>//заменяем</font>
+
             a[i][j] = used[used.size - 1]  <font color=green>//заменяем</font>
 
             fl = ''true''
 
             fl = ''true''
 
             '''break'''
 
             '''break'''
Строка 227: Строка 228:
 
   <font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font>
 
   <font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font>
 
   sort(used)
 
   sort(used)
   '''for''' i = 1 '''to''' used.size
+
   '''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
 
     a.add('''list<int>'''(used[i]))  <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
 
     a.add('''list<int>'''(used[i]))  <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
 
   '''return''' a
 
   '''return''' a
Строка 290: Строка 291:
  
 
== См.также ==
 
== См.также ==
 +
* [[Получение предыдущего объекта]]
 
* [[Получение объекта по номеру]]
 
* [[Получение объекта по номеру]]
 
* [[Получение номера по объекту]]
 
* [[Получение номера по объекту]]

Текущая версия на 01:25, 16 декабря 2017

Алгоритм[править]

Определение:
Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект [math]Q[/math] называется следующим за [math]P[/math], если [math]P \lt Q[/math] и не найдется такого [math]R[/math], что [math]P \lt R \lt Q[/math].

Отсюда понятен алгоритм:

  • находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта [math]P[/math],
  • к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило [math]P \lt Q[/math]),
  • дописываем минимальный возможный хвост.

По построению получаем, что [math]Q[/math] — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора[править]

  • Находим минимальный суффикс, в котором есть [math]0[/math], его можно увеличить, не меняя оставшейся части
  • Вместо [math]0[/math] записываем [math]1[/math]
  • Дописываем минимально возможный хвост из нулей
int[] nextVector(int[] a): // [math]n[/math] — длина вектора
  while (n >= 0) and (a[n] != 0)
      a[n] = 0
      n--
  if n == -1
    return null
  a[n] = 1
  return a

Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

Пример работы[править]

0 1 0 1 1 исходный битовый вектор
^ начинаем идти с конца
0 1 0 0 0 пока элементы равны 1, заменяем их на 0
0 1 1 0 0 меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
0 1 1 0 0 следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки[править]

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
  • Перевернем правую часть
int[] nextPermutation(int[] a): // [math]n[/math] — длина перестановки
  for i = n - 2 downto 0
    if a[i] < a[i + 1]
      min = i + 1;
      for j = i + 1 to n - 1
        if (a[j] < a[min]) and (a[j] > a[i])
          min = j
      swap(a[i], a[min])
      reverse(a, i + 1, n - 1)
      return a
  return null 

Пример работы[править]

1 3 2 5 4 исходная перестановка
^ находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
^ минимальный элемент больше нашего
1 3 4 5 2 меняем их местами
1 3 4 2 5 разворачивам правую часть
1 3 4 2 5 следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки[править]

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
  • Переворачиваем правую часть.
int[] nextMultiperm(int[] b):  // [math]n[/math] — длина мультиперестановки
    i = n - 2
    while (i >= 0) and (b[i] >= b[i + 1]) 
      i--
    if i >= 0 
      j = i + 1
      while (j < n - 1) and (b[j + 1] > b[i]) 
        j++
      swap(b[i] , b[j])
      reverse(b, i + 1, n - 1)
      return b
    else
      return null

Пример работы[править]

1 2 3 1 2 3 Исходная перестановка.
^ Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
^ Минимальный элемент больше нашего.
1 2 3 1 3 2 Меняем их местами.
1 2 3 1 3 2 Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания[править]

  • Добавим в конец массива с сочетанием [math]N+1[/math] – максимальный элемент.
  • Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на [math]2[/math] и больше.
  • Увеличим найденный элемент на [math]1[/math], и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
int[] nextChoose(int[] a, int n, int k): // [math]n,k [/math] — параметры сочетания
  for i = 0 to k - 1 
    b[i] = a[i]
  b[k] = n + 1
  i = k - 1
  while (i >= 0) and (b[i + 1] - b[i] < 2) 
    i--
  if i >= 0 
     b[i]++
     for j = i + 1 to k - 1 
       b[j] = b[j - 1] + 1
     for i = 0 to k - 1 
       a[i] = b[i]
     return a
  else
    return null

Пример работы[править]

1 2 5 6 7 Дописываем 7 в конец сочетания.
1 2 5 6 7
^ Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1 3 5 6 7 Увеличиваем его на 1.
1 3 4 5 6 Дописываем минимальный хвост.
1 3 4 5 Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые[править]

Рассматриваемый алгоритм находит следующее разбиение на слагаемые, при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.

  • Увеличим предпоследнее слагаемое на [math]1[/math], уменьшим последнее слагаемое на [math]1[/math].
    • Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
    • Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое [math]s[/math] на два слагаемых [math]a[/math] и [math]b[/math] таких, что [math]a[/math] равно предпоследнему слагаемому, а [math]b = s - a[/math]. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

// [math]b[/math] — список, содержащий разбиение данного числа [math]b.size[/math]— его размер 
list<int>  nextPartition(list<int> b): 
   b[b.size - 1]--
   b[b.size - 2]++
   if b[b.size - 2] > b[b.size - 1] 
      b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
      b.remove(b.size - 1)
   else
     while b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1] 
       b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
       b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
   return b

Пример работы[править]

1 1 7 Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1 2 6 Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
1 2 2 4
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
1 4 5 Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
1 5 4 Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
1 9 4 Удалим последний элемент.
1 9 Следующее разбиение на слагаемые числа 10.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества[править]

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:[math]N_n = \{1, 2, ..., n\}[/math]

Упорядочим все разбиения на множества [math]N_n[/math] лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество [math] A \subset N_n [/math] лексикографически меньше подмножества [math] B \subset N_n [/math] , если верно одно из следующих условий:

  • существует [math]i[/math] такое, что [math]i \in A[/math] , [math]i \notin B[/math], для всех [math]j \lt i: j \in A[/math] если и только если [math]j \in B[/math] , и существует [math]k \gt i[/math] такое что [math]k \in B[/math];
  • [math] A \subset B [/math] и [math]i \lt j[/math] для всех [math]i \in A[/math] и [math]j \in B[/math] \ [math] A [/math].

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение [math]N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k[/math] лексикографически меньше разбиения [math]N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l[/math] если существует такое [math]i[/math], что [math]A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i[/math].


Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

  • Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение [math] \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}[/math] будет выглядеть так:
1 2 3
4 5
  • Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
    • Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. Важное замечание: мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
    • Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
  • Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

list<list<int>> nextSetPartition(list<list<int>> a):
 // [math]a[/math] — список, содержащий подмножества
 // [math]used[/math] — список, в котором мы храним удаленные элементы
 used = list<int>
 fl = false
 for i = a.size - 1 downto 0
     if (used.size != 0) and (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1])   // если можем добавить в конец подмножества элемент из [math]used[/math]
         a[i].add(used[used.size - 1])   //добавляем
         used.remove(used.size - 1)
         break
     for j = a[i].size - 1 downto 0
         if (used.size != 0) and (j != 0) and (used[used.size - 1] > a[i][j])    //если можем заменить элемент, другим элементом из списка [math]used[/math] 
            a[i][j] = used[used.size - 1]   //заменяем
            fl = true
            break
     if fl break
     used.add(a[i][j])   //добавляем в [math]used[/math] [math]j[/math] элемент [math]i[/math]-го подмножества 
     a[i].remove(j)   //удаляем [math]j[/math] элемент [math]i[/math]-го подмножества
 //далее выведем все получившиеся подмножества
 sort(used)
 for i = 0 to used.size - 1
    a.add(list<int>(used[i]))   //добавляем лексикографически минимальных хвост
 return a

Пример работы[править]

Рассмотрим следующее разбиение:

1 2 3
4 5

1 Шаг:

1 2 3
4 5
^ Удалили элемент 5.
used


2 Шаг:

1 2 3
4
^ Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5 used


3 Шаг:

1 2 3 4
^ Дополнили первое подмножество элементом 4
5 used


4 Шаг:

1 2 3 4
5 Дописали лексикографически минимальный хвост
used

См.также[править]

Источники информации[править]