Получение следующего объекта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания)
 
(не показано 237 промежуточных версий 22 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
 
'''Получение следующего объекта''' - это нахождение следующего объекта в лексико графическом порядке
 
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Находим максимальный общий префикс, после него ставим минимальный возможный элемент и дописываем минимальный возможный хвост.
+
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
 +
}}
 +
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.
  
----
+
Отсюда понятен алгоритм:
 +
* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,
 +
* к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),
 +
* дописываем минимальный возможный хвост.
 +
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
  
== Пример (перестановки) ==
+
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
 +
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
 +
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
 +
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
 +
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font>
 +
  '''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
 +
      a[n] = 0
 +
      n--
 +
  '''if''' n == -1
 +
    '''return''' ''null''
 +
  a[n] = 1
 +
  '''return''' a
 +
Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
 +
=== Пример работы ===
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
 +
|-
 +
| || || || ||^|| начинаем идти с конца
 +
|-
 +
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0
 +
|-
 +
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
 +
|-
 +
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
 +
|}
  
Каждая следующая перестановка строится следующим образом:
+
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
 +
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
 +
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
 +
* Перевернем правую часть
  
Двигаясь с конца массива сравниваем соседние элементы, если a[i - 1] > a[i] двигаемся дальше, если a[i - 1] < a[i], m := i - 1(поскольку мы нашли m дальше не смысла двигаться) выходим из цикла.
+
'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font>
k := i, такое что a[i] > a[m] и a[i] = min(a[i]), при i > m.
+
  '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
Меняем местами a[m] и a[k] местами.
+
    '''if''' a[i] < a[i + 1]
Осталось упорядочить по возрастанию элементы, стоящие справа от нового m-го элемента, но т.к. они упорядочены по убыванию, достаточно их обернуть.
+
      min = i + 1;
----
+
      '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1
 +
        '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
 +
          min = j
 +
      swap(a[i], a[min])
 +
      reverse(a, i + 1, n - 1)
 +
      '''return''' a
 +
  '''return''' ''null''
  
 +
=== Пример работы ===
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
 +
|-
 +
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
 +
|-
 +
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
 +
|-
 +
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
 +
|-
 +
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
 +
|-
 +
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
 +
|}
  
 +
== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
 +
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
 +
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
 +
* Переворачиваем правую часть.
 +
'''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b):  <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font>
 +
    i = n - 2
 +
    '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
 +
      i--
 +
    '''if''' i >= 0
 +
      j = i + 1
 +
      '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
 +
        j++
 +
      swap(b[i] , b[j])
 +
      reverse(b, i + 1, n - 1)
 +
      '''return''' b
 +
    '''else'''
 +
      '''return''' ''null''
  
== Ссылки ==
+
=== Пример работы ===
[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Дискретная математика : алгоритмы]
+
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
 +
|-
 +
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
 +
|-
 +
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
 +
|-
 +
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
 +
|-
 +
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
 +
|}
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 Википедия - свободная энциклопедия]
+
== Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==
 +
 
 +
* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
 +
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.
 +
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
 +
'''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font>
 +
  '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
 +
    b[i] = a[i]
 +
  b[k] = n + 1
 +
  i = k - 1
 +
  '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2)
 +
    i--
 +
  '''if''' i >= 0
 +
      b[i]++
 +
      '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
 +
        b[j] = b[j - 1] + 1
 +
      '''for''' i = 0 '''to''' k - 1
 +
        a[i] = b[i]
 +
      '''return''' a
 +
  '''else'''
 +
    '''return''' ''null''
 +
 
 +
=== Пример работы ===
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
 +
|-
 +
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
 +
|-
 +
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
 +
|-
 +
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
 +
|-
 +
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
 +
|-
 +
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
 +
|}
 +
 
 +
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==
 +
Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.
 +
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
 +
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
 +
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
 +
 
 +
<code>
 +
<font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font>
 +
'''list<int>'''  nextPartition('''list<int>''' b):
 +
    b[b.size - 1]--
 +
    b[b.size - 2]++
 +
    '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1]
 +
      b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
 +
      b.remove(b.size - 1)
 +
    '''else'''
 +
      '''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1]
 +
        b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
 +
        b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
 +
    '''return''' b
 +
</code>
 +
 
 +
=== Пример работы ===
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
 +
|-
 +
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
 +
|-
 +
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
 +
|-
 +
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
 +
|-
 +
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
 +
|}
 +
 
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
 +
|-
 +
|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
 +
|-
 +
|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.
 +
|-
 +
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
 +
|}
 +
 
 +
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==
 +
 
 +
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
 +
 
 +
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
 +
 
 +
*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
 +
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
 +
 
 +
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
 +
 
 +
 
 +
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
 +
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
 +
 
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3
 +
|-
 +
|4||5||
 +
|}
 +
 
 +
* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
 +
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
 +
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
 +
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.
 +
 
 +
<code>
 +
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
 +
  <font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font>
 +
  <font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
 +
  used = '''list<int>'''
 +
  fl = ''false''
 +
  '''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
 +
      '''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1])  <font color=green>// если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font>
 +
          a[i].add(used[used.size - 1])  <font color=green>//добавляем</font>
 +
          used.remove(used.size - 1)
 +
          '''break'''
 +
      '''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
 +
          '''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (used[used.size - 1] > a[i][j])    <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font>
 +
            a[i][j] = used[used.size - 1]  <font color=green>//заменяем</font>
 +
            fl = ''true''
 +
            '''break'''
 +
      '''if''' fl '''break'''
 +
      used.add(a[i][j])  <font color=green>//добавляем в <tex>used</tex> <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
 +
      a[i].remove(j)  <font color=green>//удаляем <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
 +
  <font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font>
 +
  sort(used)
 +
  '''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
 +
    a.add('''list<int>'''(used[i]))  <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
 +
  '''return''' a
 +
</code>
 +
 
 +
=== Пример работы ===
 +
 
 +
'''Рассмотрим следующее разбиение:'''
 +
 
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3
 +
|-
 +
|4||5||
 +
|}
 +
 
 +
'''1 Шаг:'''
 +
 
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3||
 +
|-
 +
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
 +
|-
 +
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
 +
|-
 +
| || || ||used
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
'''2 Шаг:'''
 +
 
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3||
 +
|-
 +
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
 +
|-
 +
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
 +
|-
 +
|5|| || ||used
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
'''3 Шаг:'''
 +
 
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
 +
|-
 +
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
 +
|-
 +
|5|| || || ||used
 +
|} 
 +
 
 +
 
 +
'''4 Шаг:'''
 +
   
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3||4||
 +
|-
 +
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
 +
|-
 +
| || || || ||used
 +
|}
 +
 
 +
== См.также ==
 +
* [[Получение предыдущего объекта]]
 +
* [[Получение объекта по номеру]]
 +
* [[Получение номера по объекту]]
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
 
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
 +
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Комбинаторика]]

Текущая версия на 01:25, 16 декабря 2017

Алгоритм[править]

Определение:
Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект [math]Q[/math] называется следующим за [math]P[/math], если [math]P \lt Q[/math] и не найдется такого [math]R[/math], что [math]P \lt R \lt Q[/math].

Отсюда понятен алгоритм:

  • находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта [math]P[/math],
  • к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило [math]P \lt Q[/math]),
  • дописываем минимальный возможный хвост.

По построению получаем, что [math]Q[/math] — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора[править]

  • Находим минимальный суффикс, в котором есть [math]0[/math], его можно увеличить, не меняя оставшейся части
  • Вместо [math]0[/math] записываем [math]1[/math]
  • Дописываем минимально возможный хвост из нулей
int[] nextVector(int[] a): // [math]n[/math] — длина вектора
  while (n >= 0) and (a[n] != 0)
      a[n] = 0
      n--
  if n == -1
    return null
  a[n] = 1
  return a

Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

Пример работы[править]

0 1 0 1 1 исходный битовый вектор
^ начинаем идти с конца
0 1 0 0 0 пока элементы равны 1, заменяем их на 0
0 1 1 0 0 меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
0 1 1 0 0 следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки[править]

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
  • Перевернем правую часть
int[] nextPermutation(int[] a): // [math]n[/math] — длина перестановки
  for i = n - 2 downto 0
    if a[i] < a[i + 1]
      min = i + 1;
      for j = i + 1 to n - 1
        if (a[j] < a[min]) and (a[j] > a[i])
          min = j
      swap(a[i], a[min])
      reverse(a, i + 1, n - 1)
      return a
  return null 

Пример работы[править]

1 3 2 5 4 исходная перестановка
^ находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
^ минимальный элемент больше нашего
1 3 4 5 2 меняем их местами
1 3 4 2 5 разворачивам правую часть
1 3 4 2 5 следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки[править]

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
  • Переворачиваем правую часть.
int[] nextMultiperm(int[] b):  // [math]n[/math] — длина мультиперестановки
    i = n - 2
    while (i >= 0) and (b[i] >= b[i + 1]) 
      i--
    if i >= 0 
      j = i + 1
      while (j < n - 1) and (b[j + 1] > b[i]) 
        j++
      swap(b[i] , b[j])
      reverse(b, i + 1, n - 1)
      return b
    else
      return null

Пример работы[править]

1 2 3 1 2 3 Исходная перестановка.
^ Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
^ Минимальный элемент больше нашего.
1 2 3 1 3 2 Меняем их местами.
1 2 3 1 3 2 Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания[править]

  • Добавим в конец массива с сочетанием [math]N+1[/math] – максимальный элемент.
  • Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на [math]2[/math] и больше.
  • Увеличим найденный элемент на [math]1[/math], и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
int[] nextChoose(int[] a, int n, int k): // [math]n,k [/math] — параметры сочетания
  for i = 0 to k - 1 
    b[i] = a[i]
  b[k] = n + 1
  i = k - 1
  while (i >= 0) and (b[i + 1] - b[i] < 2) 
    i--
  if i >= 0 
     b[i]++
     for j = i + 1 to k - 1 
       b[j] = b[j - 1] + 1
     for i = 0 to k - 1 
       a[i] = b[i]
     return a
  else
    return null

Пример работы[править]

1 2 5 6 7 Дописываем 7 в конец сочетания.
1 2 5 6 7
^ Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1 3 5 6 7 Увеличиваем его на 1.
1 3 4 5 6 Дописываем минимальный хвост.
1 3 4 5 Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые[править]

Рассматриваемый алгоритм находит следующее разбиение на слагаемые, при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.

  • Увеличим предпоследнее слагаемое на [math]1[/math], уменьшим последнее слагаемое на [math]1[/math].
    • Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
    • Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое [math]s[/math] на два слагаемых [math]a[/math] и [math]b[/math] таких, что [math]a[/math] равно предпоследнему слагаемому, а [math]b = s - a[/math]. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

// [math]b[/math] — список, содержащий разбиение данного числа [math]b.size[/math]— его размер 
list<int>  nextPartition(list<int> b): 
   b[b.size - 1]--
   b[b.size - 2]++
   if b[b.size - 2] > b[b.size - 1] 
      b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
      b.remove(b.size - 1)
   else
     while b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1] 
       b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
       b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
   return b

Пример работы[править]

1 1 7 Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1 2 6 Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
1 2 2 4
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
1 4 5 Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
1 5 4 Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
1 9 4 Удалим последний элемент.
1 9 Следующее разбиение на слагаемые числа 10.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества[править]

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:[math]N_n = \{1, 2, ..., n\}[/math]

Упорядочим все разбиения на множества [math]N_n[/math] лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество [math] A \subset N_n [/math] лексикографически меньше подмножества [math] B \subset N_n [/math] , если верно одно из следующих условий:

  • существует [math]i[/math] такое, что [math]i \in A[/math] , [math]i \notin B[/math], для всех [math]j \lt i: j \in A[/math] если и только если [math]j \in B[/math] , и существует [math]k \gt i[/math] такое что [math]k \in B[/math];
  • [math] A \subset B [/math] и [math]i \lt j[/math] для всех [math]i \in A[/math] и [math]j \in B[/math] \ [math] A [/math].

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение [math]N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k[/math] лексикографически меньше разбиения [math]N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l[/math] если существует такое [math]i[/math], что [math]A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i[/math].


Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

  • Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение [math] \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}[/math] будет выглядеть так:
1 2 3
4 5
  • Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
    • Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. Важное замечание: мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
    • Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
  • Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

list<list<int>> nextSetPartition(list<list<int>> a):
 // [math]a[/math] — список, содержащий подмножества
 // [math]used[/math] — список, в котором мы храним удаленные элементы
 used = list<int>
 fl = false
 for i = a.size - 1 downto 0
     if (used.size != 0) and (used[used.size - 1] > a[i][a[i].size - 1])   // если можем добавить в конец подмножества элемент из [math]used[/math]
         a[i].add(used[used.size - 1])   //добавляем
         used.remove(used.size - 1)
         break
     for j = a[i].size - 1 downto 0
         if (used.size != 0) and (j != 0) and (used[used.size - 1] > a[i][j])    //если можем заменить элемент, другим элементом из списка [math]used[/math] 
            a[i][j] = used[used.size - 1]   //заменяем
            fl = true
            break
     if fl break
     used.add(a[i][j])   //добавляем в [math]used[/math] [math]j[/math] элемент [math]i[/math]-го подмножества 
     a[i].remove(j)   //удаляем [math]j[/math] элемент [math]i[/math]-го подмножества
 //далее выведем все получившиеся подмножества
 sort(used)
 for i = 0 to used.size - 1
    a.add(list<int>(used[i]))   //добавляем лексикографически минимальных хвост
 return a

Пример работы[править]

Рассмотрим следующее разбиение:

1 2 3
4 5

1 Шаг:

1 2 3
4 5
^ Удалили элемент 5.
used


2 Шаг:

1 2 3
4
^ Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5 used


3 Шаг:

1 2 3 4
^ Дополнили первое подмножество элементом 4
5 used


4 Шаг:

1 2 3 4
5 Дописали лексикографически минимальный хвост
used

См.также[править]

Источники информации[править]