210
правок
Изменения
→Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества
== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
Отсюда понятен алгоритм:
* Находим минимальный находим суффикс в объекте минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>, который можно увеличить, не меняя оставшуюся часть* К к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* Дописываем дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части* Вместо <tex>0 </tex> записываем <tex>1 </tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора<code/font> for i '''while''' (n >= n downto 1 if 0) '''and''' (a[in] =!= 0) a[in] = 10 n-- for j '''if''' n = i + = -1 to n '''return''' ''null'' a[jn] = 01 break '''return''' a</code>Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border="1"|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|0||1||1||исходный битовый вектор
|-
| || ||^|| || ^||находим элемент 0 (самый правый)начинаем идти с конца
|-
|0||1||0||style="background:#FFCC00"|10||style="background:#FFCC00"|10||пока элементы равны 1||меняем его , заменяем их на 10
|-
|0||1||1||style="background:#FFCC00"|1||0||style="background:#FFCC00"|0||меняем элементы правее первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на нули1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
* Двигаясь справа налево, находим элаементэлемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть
'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <codetex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for ''' i = n - 1 2 '''downto 1''' 0 '''if ''' a[i] < a[i + 1] min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1 // '''if''' (a[j] = < a[min {]) '''and''' (a[j] > a[i], где ) min = j > i} swap(a[i], a[jmin]) reverse(a[, i + 1] .. a[, n]- 1) break '''return''' a '''return''' ''null'' </code>
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border="1"
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
|}
== Ссылки Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.* Переворачиваем правую часть. '''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font> i = n - 2 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) i-- '''if''' i >= 0 j = i + 1 '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) j++ swap(b[i] , b[j]) reverse(b, i + 1, n - 1) '''return''' b '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.|-| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.|-| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.|-|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.|-|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания == * Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание. '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font> '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 b[i] = a[i] b[k] = n + 1 i = k - 1 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2) i-- '''if''' i >= 0 b[i]++ '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1 b[j] = b[j - 1] + 1 '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 a[i] = b[i] '''return''' a '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''|||-| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2|-|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.|-|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего. <code> <font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font> '''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b): b[b.size - 1]-- b[b.size - 2]++ '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1] b[b.size - 2] += b[b.size - 1] b.remove(b.size - 1) '''else''' '''while''' b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1] b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2]) b[b.size - 2] = b[b.size - 3] '''return''' b</code> === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4|-|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| |||-|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2|||-|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.|} {| class="wikitable" border = 1|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.|-|1||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.|-|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.|-|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.|} == См.также ==* [[Получение предыдущего объекта]]* [[Получение объекта по номеру]]* [[Получение номера по объекту]] == Источники информации ==
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок(С++)]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
