Изменения

* Находим находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,* К к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* Дописываем дописываем минимальный возможный хвост.

* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части* Вместо <tex>0 </tex> записываем <tex>1 </tex>

'''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора<code/font> for i '''while''' (n >= n downto 1 if 0) '''and''' (a[in] =!= 0) a[in] = 10 n-- for j '''if''' n = i + = -1 to n '''return''' ''null'' a[jn] = 01 break '''return''' a</code>Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|0||1||1||исходный битовый вектор

| || ||^|| || ^||находим элемент 0 (самый правый)начинаем идти с конца

|0||1||0||style="background:#FFCC00"|10||style="background:#FFCC00"|10||пока элементы равны 1||меняем его , заменяем их на 10

|0||1||1||style="background:#FFCC00"|1||0||style="background:#FFCC00"|0||меняем элементы правее первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на нули1

* Двигаясь справа налево, находим элаементэлемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)

  '''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <codetex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for ''' i = n - 1 2 '''downto 1''' 0 '''if ''' a[i] < a[i + 1] min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1 // '''if''' (a[j] = < a[min {]) '''and''' (a[j] > a[i], где ) min = j > i} swap(a[i], a[jmin]) reverse(a[, i + 1] .. a[, n]- 1) break '''return''' a '''return''' ''null'' </code>

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества следующей мультиперестановки == Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, 2слева направо, см.пример).* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее., n\}</tex> {{Определение|id=def1* Переворачиваем правую часть. |definition= '''int[]''' nextMultiperm('''Разбиением на множестваint[]''' называется представление множества, как объединения одного или более, попарнонепересекающихся подмножеств множеств.}}Например, для b): <tex>n font color= 5</texgreen> существуют следующие разбиения: <tex> \{1, 2, 3, 4, 5\}</tex> <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> <tex> \{1, 3, 5\}~ \{2, 4\}n</tex> <tex> \{1\}~\{2\---}~\{3\}~\{4\}~\{5\}длина мультиперестановки</texfont> i = n - 2и т. д., всего таких разбиений для <tex '''while''' (i >n = 5</tex> существует 52. 0) '''Примечание:and'''<tex(b[i] > \{= b[i + 1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> и <tex>\{4, 5\} ~\{1, 2, 3, ..., n\}</tex> ]) i- одно и то же разбиение на подмножества. Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого во-первых в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий: *существует '''if''' i такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin A</tex>, для всех = 0 j < = i: <tex>+ 1 '''while''' (j \in A</tex> если и только если <tex>n - 1) '''and''' (b[j \in B</tex> , и существует k + 1] > b[i такое что <tex>k \in B</tex>;]) * <tex> A \subset B </tex> и i < j для всех <tex>++ swap(b[i \in A</tex> и <tex>] , b[j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.]) Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1 reverse(b, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - + 1} = B_{i , n - 1}, A_i < B_i</tex>.) '''return''' b '''else''' '''return''''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'null''*Будем хранить подмножества с помощью двумерного массива, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.|-| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.|-| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.

|41||52|| 3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.|-|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.

* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не выполнится одно из условий ниже:** Каждый раз, рассматривая новый элемент, будем пытаться заменить его уже удаленным элементом из нашего массива, так, чтобы не нарушалась возрастающая последовательность элементов в этом подмножестве. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить 1ый элемент подмножества, мы можем только удалить его.** Каждый раз, переходя в новое подмножество, будем пытаться дополнить его элементом из уже удаленных, так, чтобы не нарушалась возрастающая последовательность элементов в этом подмножестве. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов. <code> // sets - матрица содержащая подмножества // used - массив в котором мы храним, удаленные элементы '''for''' i = n '''downto''' 0 '''if''' можем добавить в конец подмножества элемент из used //добавляем '''break;''' '''for''' j = a[i].size() - 1 '''downto''' 0 '''if''' можем заменить элемент, другим элементом из массива used //заменяем '''break;''' used.add(a[i][j]); //удаляем элемент и добавляем его в массив //далее выведем все получившиеся подмножестваСпециализация алгоритма для генерации следующего сочетания ==

* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</codetex> и больше.* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание. '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font> '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 b[i] = a[i] b[k] = n + 1 i = k - 1 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2) i-- '''if''' i > = 0 b[i]++ '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1 b[j] = b[j - 1] + 1 '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 a[i] = b[i] '''return''' a '''else''' '''return''' ''null''

|1||2||35||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||

|4||5^||| |} '''1 Шаг:''' {| class="wikitable" border = 1|1||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2||3||

|41||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.

| 1||^3|| style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|Удалили элемент 5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.

| '''1'''|| '''3'''|| '''4'''||used'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.

<code> <font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font> '''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b): b[b.size - 1]-- b[b.size - 2]++ '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1] b[b.size - 2] += b[b.size - 1] b.remove(b.size - 1) '''else''' '''while''' b[b.size - 2 Шаг:] * 2 <= b[b.size - 1] b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2]) b[b.size - 2] = b[b.size - 3] '''return'''b</code>

|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||3style="background:#FFCC00"|6|||| ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4

|1||2||style="background:#FFCC00"|42|| style="background:#FFCC00"|4||||

|^1|| 2|| 2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.

|5'''1'''|| '''2'''|| '''2'''||used'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.

|1||2style="background:#FFCC00"||34||style="background:#FFCC00"|45||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.

| 1|| style="background:#FFCC00"|5| |style="background:#FFCC00"|^4||Дополнили первое подмножество элементом Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.

|5|| || |1| |9|used|}   '''4 Шаг:''' {| classstyle="wikitablebackground:#FFCC00" border = 1|1||2||3||4||Удалим последний элемент.

|style="background:#FFCC00"'''1'''|5|'''9'''| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост|-| || || || ||usedСледующее разбиение на слагаемые числа 10.

== Ссылки См.также ==* [[Получение предыдущего объекта]]