Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Получение следующего объекта

5926 байт убрано, 8 январь
Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества
Отсюда понятен алгоритм:
* Находим находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,* К к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* Дописываем дописываем минимальный возможный хвост.
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex>
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''int[]''' nextVector('''int[] ''' a) : <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font>
'''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0)
a[n] = 0
n--
'''if''' n == -1
'''return''' ''null''
a[n] = 1
'''return''' a
* Перевернем правую часть
'''int[]''' nextPermutation('''int[] ''' a) : <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for''' i = n - 1 2 '''downto''' 10
'''if''' a[i] < a[i + 1]
min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n- 1
'''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i])
min = j
swap(a[i], a[jmin]) std::reverse(a[, i + 1]..a[, n]- 1) '''breakreturn'''a '''return''' a ''null''
=== Пример работы ===
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''int[]''' nextMultiperm('''int[] ''' b) : <font color=green>// <tex>Nn</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font> i = N n - 12 '''while''' (i > = 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1])
i--
'''if''' i > = 0
j = i + 1
'''while''' (j < Nn - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i])
j++
swap(b[i] , b[j])
'''for''' j = reverse(b, i + 1 '''to''' (N + i) '''div''' 2 swap(b[j], b[N n - j + i + 1]) '''return'''(b[1..N])
'''else'''
'''return'''(''null)''
=== Пример работы ===
* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex>и больше.
* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''functionint[]''' nextChoose('''int[] ''' a, '''int''' n, '''int''' k):int[] <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font> '''for''' i = 1 0 '''to''' k - 1
b[i] = a[i]
b[k + 1] = n + 1 i = nk - 1 '''while''' (i > = 0) '''and''' ((b[i + 1] - b[i]) < 2)
i--
'''if''' i > = 0
b[i]++
'''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1
b[j] = b[j - 1] + 1
'''for''' i = 1 0 '''to''' k - 1
a[i] = b[i]
'''return'''(a[1..k])
'''else'''
'''return'''(''null)''
=== Пример работы ===
* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.
** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
<code>
<font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа, <tex>b.size</tex>{{---}} его размер.</font> '''functionlist<int>''' nextPartition('''list<int>''' b): '''list<int>''' b[b.size- 1]-- b[b.size - 12]++ '''if''' b[b.size - 12] > b[b.size- 1] b[b.size - 12] += b[b.size- 1] b.remove(b.size()- 1)
'''else'''
'''while''' b[b.size - 12] * 2 <= b[b.size- 1] b.add(b[b.size- 1] - b[b.size - 12]) b[b.size - 12] = b[b.size - 23]
'''return''' b
</code>
|-
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==
 
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
 
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
 
*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
 
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
 
 
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
 
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
 
* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.
 
<code>
'''function''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):'''list<list<int>>'''
<font color=green>// <tex>a</tex> {{---}} список, содержащий подмножества</font>
<font color=green>// <tex>used</tex> {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
used = '''list<int>'''
fl = ''false''
'''for''' i = a.size '''downto''' 1
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (used[used.size] > a[i][a[i].size]) <font color=green>// если можем добавить в конец подмножества элемент из <tex>used</tex></font>
a[i].add(used[used.size]) <font color=green>//добавляем</font>
used.remove(used.size)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size '''downto''' 1
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 1) '''and''' (used[used.size] > a[i][j]) <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка <tex>used</tex> </font>
a[i][j] = used[used.size] <font color=green>//заменяем</font>
fl = ''true''
'''break'''
'''if''' fl '''break'''
used.add(a[i][j]) <font color=green>//добавляем в <tex>used</tex> <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
a[i].remove(j) <font color=green>//удаляем <tex>j</tex> элемент <tex>i</tex>-го подмножества</font>
<font color=green>//далее выведем все получившиеся подмножества</font>
sort(used)
'''for''' i = 1 '''to''' used.size
a.add('''list<int>'''(used[i])) <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
'''return''' a
</code>
 
=== Пример работы ===
 
'''Рассмотрим следующее разбиение:'''
 
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
 
'''1 Шаг:'''
 
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}
 
 
'''2 Шаг:'''
 
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}
 
 
'''3 Шаг:'''
 
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}
 
 
'''4 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}
== См.также ==
* [[Получение предыдущего объекта]]
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]

Навигация