Изменения

Находим максимальный общий префикс{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].}}Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>. Отсюда понятен алгоритм:* находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>, после него ставим * к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент и (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* дописываем минимальный возможный хвост.По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный. == Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части* Вместо <tex>0</tex> записываем <tex>1</tex> * Дописываем минимально возможный хвост из нулей '''int[]''' nextVector('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font> '''while''' (n >= 0) '''and''' (a[n] != 0) a[n] = 0 n-- '''if''' n == -1 '''return''' ''null'' a[n] = 1 '''return''' aПриведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору. === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор|-| || || || ||^|| начинаем идти с конца|-|0||1||0||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0|| пока элементы равны 1, заменяем их на 0|-|0||1||style="background:#FFCC00"|1||0||0|| меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1|-|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор|} == Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее* Перевернем правую часть  '''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0 '''if''' a[i] < a[i + 1] min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1 '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i]) min = j swap(a[i], a[min]) reverse(a, i + 1, n - 1) '''return''' a '''return''' ''null''  === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка|-| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность|-| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего|-|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами|-|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка|} == Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.* Переворачиваем правую часть. '''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font> i = n - 2 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) i-- '''if''' i >= 0 j = i + 1 '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) j++ swap(b[i] , b[j]) reverse(b, i + 1, n - 1) '''return''' b '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.|-| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.|-| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.|-|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.|-|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания == * Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание. '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font> '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 b[i] = a[i] b[k] = n + 1 i = k - 1 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2) i-- '''if''' i >= 0 b[i]++ '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1 b[j] = b[j - 1] + 1 '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 a[i] = b[i] '''return''' a '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''|||-| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2|-|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.|-|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s ----a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

<code> <font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font> '''list<int>''' nextPartition('''list<int>''' b): b[b.size - 1]-- b[b.size - 2]++ '''if''' b[b.size - 2] > b[b.size - 1] b[b.size - 2] += Пример b[b.size - 1] b.remove(перестановкиb.size - 1) '''else''' '''while''' b[b.size - 2] * 2 <=b[b.size - 1] b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2]) b[b.size - 2] =b[b.size - 3] '''return''' b</code>

Каждая следующая перестановка строится следующим образом=== Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4|-|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| |||-|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2|||-|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.|}

Двигаясь с конца массива сравниваем соседние элементы, если a[i - {| class="wikitable" border = 1] > a[i] двигаемся дальше, если a[i - |1] < a[i], m ||style="background:#FFCC00"|4||style= i "background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1(поскольку мы нашли m дальше не смысла двигаться) выходим из цикла.k |-|1||style="background:#FFCC00"|5||style= i, такое что a[i] "background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > a[m] и a[i] = min(a[i])4, при i > mзначит прибавим к 5 + 4.Меняем местами a[m] и a[k] местами|-|1||9||style="background:#FFCC00"|4||Удалим последний элемент.Осталось упорядочить по возрастанию элементы, стоящие справа от нового m|-го элемента, но т.к. они упорядочены по убыванию, достаточно их обернуть|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.----|}

== Ссылки ==* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Дискретная математика Визуализатор перестановок]* [http: алгоритмы//cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

[http[Категория://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 Википедия - свободная энциклопедияДискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]]