Получение следующего объекта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Исправление алгоритма)
(Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества)
 
(не показано 5 промежуточных версий 4 участников)
Строка 179: Строка 179:
 
|-
 
|-
 
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
 
|'''1'''||'''9'''||||Следующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}
 
 
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==
 
 
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
 
 
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
 
 
*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
 
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
 
 
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
 
 
 
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
 
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\} ~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3
 
|-
 
|4||5||
 
|}
 
 
* Будем поддерживать массив удалённых элементов {{---}} элементы, которые затем нужно будет вернуть в разбиение.
 
 
* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
 
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и нужно завершить цикл.
 
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой-то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассматривать элементы:
 
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба цикла и выполняем алгоритм дальше. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем выписать удаленные элементы так, чтобы получилось корректное разбиение.
 
*** Если заменить текущий элемент каким-то из удалённых нельзя, то следует удалить и этот.
 
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.
 
 
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
 
  used = '''list<int>'''
 
  <font color=green>// a {{---}} список, содержащий подмножества</font>
 
  <font color=green>// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
 
  fl = ''false''
 
  '''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
 
    '''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1])  <font color=green>// в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.</font>
 
      m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
 
      a[i].add(m)  <font color=green>//добавляем</font>
 
      used.remove(m)
 
      '''break'''
 
    '''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
 
      '''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j])  <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний</font>
 
        m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
 
        a[i][j] = m  <font color=green>//заменяем</font>
 
        used.remove(m)
 
        fl = ''true''
 
        '''break'''
 
      '''else'''
 
        used.add(a[i][-1])
 
        a[i].pop()
 
        '''if''' a[i].size == 0
 
          a.pop()
 
      '''if''' fl
 
        '''break'''
 
  <font color=green>//далее выведем все удалённые, которые не выбрали</font>
 
  sort(used)
 
  '''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
 
      a.add('''list<int>'''(used[i]))  <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
 
  '''return''' a
 
 
=== Пример работы ===
 
 
'''Рассмотрим следующее разбиение:'''
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3
 
|-
 
|4||5||
 
|}
 
 
'''1 Шаг:'''
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||
 
|-
 
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
 
|-
 
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
 
|-
 
| || || ||Удалённые элементы
 
|}
 
 
 
'''2 Шаг:'''
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||
 
|-
 
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
 
|-
 
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
 
|-
 
|5|| || ||Удалённые элементы
 
|}
 
 
 
'''3 Шаг:'''
 
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
 
|-
 
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
 
|-
 
|5|| || || ||Удалённые элементы
 
|} 
 
 
 
'''4 Шаг:'''
 
   
 
{| class="wikitable" border = 1
 
|1||2||3||4||
 
|-
 
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
 
|-
 
| || || || ||Удалённые элементы
 
 
|}
 
|}
  

Текущая версия на 23:35, 8 января 2024

Алгоритм

Определение:
Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект [math]Q[/math] называется следующим за [math]P[/math], если [math]P \lt Q[/math] и не найдется такого [math]R[/math], что [math]P \lt R \lt Q[/math].

Отсюда понятен алгоритм:

  • находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта [math]P[/math],
  • к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило [math]P \lt Q[/math]),
  • дописываем минимальный возможный хвост.

По построению получаем, что [math]Q[/math] — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора

  • Находим минимальный суффикс, в котором есть [math]0[/math], его можно увеличить, не меняя оставшейся части
  • Вместо [math]0[/math] записываем [math]1[/math]
  • Дописываем минимально возможный хвост из нулей
int[] nextVector(int[] a): // [math]n[/math] — длина вектора
  while (n >= 0) and (a[n] != 0)
      a[n] = 0
      n--
  if n == -1
    return null
  a[n] = 1
  return a

Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

Пример работы

0 1 0 1 1 исходный битовый вектор
^ начинаем идти с конца
0 1 0 0 0 пока элементы равны 1, заменяем их на 0
0 1 1 0 0 меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
0 1 1 0 0 следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
  • Перевернем правую часть
int[] nextPermutation(int[] a): // [math]n[/math] — длина перестановки
  for i = n - 2 downto 0
    if a[i] < a[i + 1]
      min = i + 1;
      for j = i + 1 to n - 1
        if (a[j] < a[min]) and (a[j] > a[i])
          min = j
      swap(a[i], a[min])
      reverse(a, i + 1, n - 1)
      return a
  return null 

Пример работы

1 3 2 5 4 исходная перестановка
^ находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
^ минимальный элемент больше нашего
1 3 4 5 2 меняем их местами
1 3 4 2 5 разворачивам правую часть
1 3 4 2 5 следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
  • Переворачиваем правую часть.
int[] nextMultiperm(int[] b):  // [math]n[/math] — длина мультиперестановки
    i = n - 2
    while (i >= 0) and (b[i] >= b[i + 1]) 
      i--
    if i >= 0 
      j = i + 1
      while (j < n - 1) and (b[j + 1] > b[i]) 
        j++
      swap(b[i] , b[j])
      reverse(b, i + 1, n - 1)
      return b
    else
      return null

Пример работы

1 2 3 1 2 3 Исходная перестановка.
^ Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
^ Минимальный элемент больше нашего.
1 2 3 1 3 2 Меняем их местами.
1 2 3 1 3 2 Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания

  • Добавим в конец массива с сочетанием [math]N+1[/math] – максимальный элемент.
  • Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на [math]2[/math] и больше.
  • Увеличим найденный элемент на [math]1[/math], и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
int[] nextChoose(int[] a, int n, int k): // [math]n,k [/math] — параметры сочетания
  for i = 0 to k - 1 
    b[i] = a[i]
  b[k] = n + 1
  i = k - 1
  while (i >= 0) and (b[i + 1] - b[i] < 2) 
    i--
  if i >= 0 
     b[i]++
     for j = i + 1 to k - 1 
       b[j] = b[j - 1] + 1
     for i = 0 to k - 1 
       a[i] = b[i]
     return a
  else
    return null

Пример работы

1 2 5 6 7 Дописываем 7 в конец сочетания.
1 2 5 6 7
^ Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1 3 5 6 7 Увеличиваем его на 1.
1 3 4 5 6 Дописываем минимальный хвост.
1 3 4 5 Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые

Рассматриваемый алгоритм находит следующее разбиение на слагаемые, при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.

  • Увеличим предпоследнее слагаемое на [math]1[/math], уменьшим последнее слагаемое на [math]1[/math].
    • Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
    • Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое [math]s[/math] на два слагаемых [math]a[/math] и [math]b[/math] таких, что [math]a[/math] равно предпоследнему слагаемому, а [math]b = s - a[/math]. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

// [math]b[/math] — список, содержащий разбиение данного числа [math]b.size[/math]— его размер 
list<int>  nextPartition(list<int> b): 
   b[b.size - 1]--
   b[b.size - 2]++
   if b[b.size - 2] > b[b.size - 1] 
      b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
      b.remove(b.size - 1)
   else
     while b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1] 
       b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
       b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
   return b

Пример работы

1 1 7 Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1 2 6 Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
1 2 2 4
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
1 4 5 Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
1 5 4 Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
1 9 4 Удалим последний элемент.
1 9 Следующее разбиение на слагаемые числа 10.

См.также

Источники информации