Получение следующего объекта — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Добавлен алгоритм получения следующего разбиения на слагаемые.)
(Добавлен алгоритм для следующей мультиперестановки)
Строка 59: Строка 59:
 
|-
 
|-
 
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
 
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
 +
|}
 +
 +
== Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==
 +
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
 +
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
 +
* Переворачиваем правую часть.
 +
 +
  i := N -  1;
 +
  '''while''' (i > 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) '''do'''
 +
    dec(i);
 +
  '''if''' i > 0 '''then'''
 +
    '''begin'''
 +
      j := i + 1;
 +
      '''while''' (j < N) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) '''do'''
 +
        inc(j);
 +
      Swap(b[i] , b[j]);
 +
      '''for''' j := i + 1 '''to''' (N + i) '''div''' 2 '''do'''
 +
        Swap(b[j], b[N - j + i + 1]);
 +
      '''Вывод перестановки;'''
 +
    '''end'''
 +
  '''else'''
 +
    '''begin'''
 +
      '''Вывести "Нет ответа"'''
 +
    '''end;'''
 +
 +
=== Пример работы ===
 +
{| class="wikitable" border = 1
 +
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
 +
|-
 +
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
 +
|-
 +
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
 +
|-
 +
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
 +
|-
 +
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
 
|}
 
|}
  

Версия 22:17, 6 декабря 2013

Алгоритм

Определение:
Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект [math]Q[/math] называется следующим за [math]P[/math], если [math]P \lt Q[/math] и не найдется такого [math]R[/math], что [math]P \lt R \lt Q[/math].

Отсюда понятен алгоритм:

  • Находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта [math]P[/math]
  • К оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило [math]P \lt Q[/math])
  • Дописываем минимальный возможный хвост

По построению получаем, что [math]Q[/math] — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора

  • Находим минимальный суффикс, в котором есть 0, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
  • Вместо 0 записываем 1
  • Дописываем минимально возможный хвост из нулей
 for i = n downto 1
     if a[i] == 0
         a[i] = 1
         for j = i + 1 to n
             a[j] = 0
         break

Пример работы

0 1 0 1 1 исходный битовый вектор
^ находим элемент 0 (самый правый)
0 1 1 1 1 меняем его на 1
0 1 1 0 0 меняем элементы правее на нули
0 1 1 0 0 следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элаемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
  • Перевернем правую часть
 for i = n - 1 downto 1
     if a[i] < a[i + 1]
         // a[j] = min {a[j] > a[i], где j > i}
         swap(a[i], a[j])
         reverse(a[i + 1]..a[n])
         break

Пример работы

1 3 2 5 4 исходная перестановка
^ находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
^ минимальный элемент больше нашего
1 3 4 5 2 меняем их местами
1 3 4 2 5 разворачивам правую часть
1 3 4 2 5 следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
  • Переворачиваем правую часть.
 i := N -   1;
 while (i > 0) and (b[i] >= b[i + 1]) do
   dec(i);
 if i > 0 then
   begin
     j := i + 1;
     while (j < N) and (b[j + 1] > b[i]) do
       inc(j);
     Swap(b[i] , b[j]);
     for j := i + 1 to (N + i) div 2 do
       Swap(b[j], b[N - j + i + 1]);
     Вывод перестановки;
   end
 else
   begin
     Вывести "Нет ответа"
   end;

Пример работы

1 2 3 1 2 3 Исходная перестановка.
^ Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
^ Минимальный элемент больше нашего.
1 2 3 1 3 2 Меняем их местами.
1 2 3 1 3 2 Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания

  • Добавим в конец массива с сочетанием N+1 – максимальный элемент.
  • Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на 2.
  • Увеличим найденный элемент на 1, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
a[k + 1] := n + 1;
i := n;
while (i > 0) and ((a[i + 1] - a[i]) < 2) do
   i := i - 1;
if i > 0 then
 begin
   a[i] := a[i] + 1;
   for j := i + 1 to k do
   a[j] := a[j - 1] + 1;
   	Вывод массива a
 end
else
  Вывести “No answer”

Пример работы

1 2 5 6 7 Дописываем 7 в конец сочетания.
1 2 5 6 7
^ Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1 3 5 6 7 Увеличиваем его на 1.
1 3 4 5 6 Дописываем минимальный хвост.
1 3 4 5 Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые

  • Увеличим предпоследнее число на 1, уменьшим последнее на 1.
  • Если предпоследний элемент стал больше последнего, то увеличиваем предпоследний элемент на величину последнего.
  • Если предпоследний элемент меньше последнего, то проверяем, можем ли мы разбить последний элемент на сумму предпоследних. Если да – разбиваем, пока предпоследний*2 < последнего.

// b – массив чисел разбиения, dlin – его размер.
b[dlin] := b[dlin] - 1;
b[dlin - 1] := b[dlin - 1] + 1;
if b[dlin - 1] > b[dlin] then
 begin
   b[dlin - 1] := b[dlin - 1] + b[dlin];
   dlin := dlin - 1;
 end
else
 begin
  i := 0;
  while b[dlin - 1] * 2 <= b[dlin + i] do
   begin
    b[dlin + i + 1] := b[dlin + i] - b[dlin - 1];
    b[dlin + i] := b[dlin - 1];
    i := i + 1;
   end;
  dlin := dlin + i;
 end;
Выводим ответ.

Пример работы

1 1 7 Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1 2 6 Проверяем: 2<6, значит разбиваем 6 пока оно не станет <4
1 2 2 4
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 Следующее разбиение на слагаемые числа 9.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:[math]N_n = \{1, 2, ..., n\}[/math]


Определение:
Разбиением на множества называется представление множества, как объединения одного или более попарно непересекающихся подмножеств множеств.

Например, для [math]n = 5[/math] существуют следующие разбиения:

[math] \{1, 2, 3, 4, 5\}[/math]

[math] \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}[/math]

[math] \{1, 3, 5\}~ \{2, 4\}[/math]

[math] \{1\}~\{2\}~\{3\}~\{4\}~\{5\}[/math]

и т. д., всего таких разбиений для [math]n = 5[/math] существует 52.

Примечание: [math] \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}[/math] и [math]\{4, 5\} ~\{1, 2, 3\}[/math] - одно и то же разбиение на подмножества.

Упорядочим все разбиения на множества [math]N_n[/math] лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество [math] A \subset N_n [/math] лексикографически меньше подмножества [math] B \subset N_n [/math] , если верно одно из следующих условий:

  • существует [math]i[/math] такое, что [math]i \in A[/math] , [math]i \notin B[/math], для всех [math]j \lt i: j \in A[/math] если и только если [math]j \in B[/math] , и существует [math]k \gt i[/math] такое что [math]k \in B[/math];
  • [math] A \subset B [/math] и [math]i \lt j[/math] для всех [math]i \in A[/math] и [math]j \in B[/math] \ [math] A [/math].

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение [math]N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k[/math] лексикографически меньше разбиения [math]N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l[/math] если существует такое [math]i[/math], что [math]A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i[/math].


Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

  • Будем хранить подмножества с помощью двумерного массива, например, разбиение [math] \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}[/math] будет выглядеть так:
1 2 3
4 5
  • Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
    • Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. Важное замечание: мы не можем заменить 1ый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
    • Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
  • Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

// a - матрица, содержащая подмножества
// used - массив, в котором мы храним удаленные элементы
fl = false
for i = n - 1 downto 0
    if  можем добавить в конец подмножества элемент из used
        добавляем
        break
    for j = a[i].size - 1 downto 0
        if можем заменить элемент, другим элементом из массива used 
           заменяем
           fl = true
           break
        used.add(a[i][j])   // удаляем элемент и добавляем его в массив
    if (fl) break
// далее выведем все получившиеся подмножества
sort(used)
for i = 0 to used.size - 1
   println(used[i])        // выводим лексикографически минимальных хвост

Пример работы

Рассмотрим следующее разбиение:

1 2 3
4 5

1 Шаг:

1 2 3
4 5
^ Удалили элемент 5.
used


2 Шаг:

1 2 3
4
^ Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5 used


3 Шаг:

1 2 3 4
^ Дополнили первое подмножество элементом 4
5 used


4 Шаг:

1 2 3 4
5 Дописали лексикографически минимальный хвост
used

Ссылки