Порядок элемента — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Порядок элемента группы == {{Определение |definition= '''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</te…»)
(нет различий)

Версия 10:31, 30 июня 2010

Порядок элемента группы

Определение:
Порядком элемента [math]a[/math] группы [math]G[/math] называется наименьшее [math]n\in\mathbb{N}[/math], что [math]a^n = e[/math]. Если такого [math]n[/math] не существует, то говорят, что порядок [math]a[/math] бесконечен.


Свойства

Утверждение:
В конечной группе у всех элементов конечный порядок.
[math]\triangleright[/math]
Действительно, необходимо при некоторых [math]n,m\in\mathbb{N},\, n\gt m[/math] совпадение степеней [math]a[/math](иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок [math]a[/math] не больше [math]n-m[/math]: [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math].
[math]\triangleleft[/math]