Изменения

'''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <mathtex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</mathtex> при некотором <mathtex>n</mathtex>, а любая бесконечная - <mathtex>\mathbb{Z}</mathtex>.

Пусть порядок <mathtex>a</mathtex> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <mathtex>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</mathtex>. Докажем, что <mathtex>\phi</mathtex> - изоморфизм. Очевидно, что <mathtex>\phi</mathtex> - гомоморфизм: <mathtex>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</mathtex>. По определению циклической группы <mathtex>\phi</mathtex> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <mathtex>n>m,\,a^n=a^m</mathtex>, тогда <mathtex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</mathtex>, т.е. порядок <mathtex>a</mathtex> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <mathtex>\phi</mathtex> - биекция, а значит, и изоморфизм.

Пусть теперь порядок <mathtex>a</mathtex> конечен и равен <mathtex>r</mathtex>. Рассмотрим отображение <mathtex>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</mathtex>. Докажем, что <mathtex>\phi</mathtex> - гомоморфизм. Пусть <mathtex>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0</mathtex>. Тогда:

<mathtex>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</mathtex>

<mathtex>\phi</mathtex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <mathtex>a^n=a^m,\, n<m<r</mathtex>, тогда<mathtex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</mathtex>. Но <mathtex>r>m-n>0</mathtex>, т.е. <mathtex>r</mathtex> - не минимальная степень <mathtex>a</mathtex>, равная <mathtex>e</mathtex>. Противоречие. Значит, <mathtex>\phi</mathtex> - биекция, следовательно, и изоморфизм.