Порядок элемента группы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Циклические группы)
(Классификации циклических групп)
Строка 24: Строка 24:
  
 
=== Классификации циклических групп ===
 
=== Классификации циклических групп ===
 
+
{{Теорема
'''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>.
+
|id=th1
 
+
|about=О изоморфности циклических групп
 +
|statement=
 +
любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>.
 +
|proof=
 
Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.
 
Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.
  
Строка 37: Строка 40:
 
<tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда
 
<tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда
 
<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>. Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> - не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
 
<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>. Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> - не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
 +
 +
}}
  
 
== p-группы ==
 
== p-группы ==

Версия 01:35, 30 июня 2010

Порядок элемента группы

Определение:
Порядком элемента [math]a[/math] группы [math]G[/math] называется наименьшее [math]n\in\mathbb{N}[/math], что [math]a^n = e[/math]. Если такого [math]n[/math] не существует, то говорят, что порядок [math]a[/math] бесконечен.

В конечной группе у всех элементов конечный порядок. Действительно, необходимо при некоторых [math]n,m\in\mathbb{N},\, n\gt m[/math] совпадение степеней [math]a[/math](иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок [math]a[/math] не больше [math]n-m[/math]: [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math].

Конечно порожденные группы

Определение:
Пусть [math]S[/math] - подмножество элементов группы [math]G[/math]. Обозначим через [math]\langle S\rangle[/math] наименьшую подгруппу, содержащую [math]S[/math]. Ею является множество всех возможных произведений элементов [math]S[/math] и их обратных. Если [math]\langle S\rangle = G[/math], то говорят, что [math]S[/math] является системой образующих для [math]G[/math]. [math]G[/math] называется конечно порожденной, если у нее есть конечная система образующих.


Циклические группы

Определение:
Группа [math]G[/math] называется циклической, если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента [math]a[/math]. Тогда все элементы группы имеют вид [math]a^n,\,n\in\mathbb{Z}[/math].

Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.

Примерами циклических групп являются группы [math]\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] при некотором [math]n[/math], а любая бесконечная - [math]\mathbb{Z}[/math].

Классификации циклических групп

Теорема (О изоморфности циклических групп):
любая конечная циклическая группа изоморфна [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] при некотором [math]n[/math], а любая бесконечная - [math]\mathbb{Z}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.

Пусть порядок [math]a[/math] бесконечен. Тогда рассмотрим отображение [math]\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n[/math]. Докажем, что [math]\phi[/math] - изоморфизм. Очевидно, что [math]\phi[/math] - гомоморфизм: [math]\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)[/math]. По определению циклической группы [math]\phi[/math] сюръективен. Докажем инъективность: пусть [math]n\gt m,\,a^n=a^m[/math], тогда [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math], т.е. порядок [math]a[/math] конечен, что приводит к противоречию. Поэтому [math]\phi[/math] - биекция, а значит, и изоморфизм.

Пусть теперь порядок [math]a[/math] конечен и равен [math]r[/math]. Рассмотрим отображение [math]\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n[/math]. Докажем, что [math]\phi[/math] - гомоморфизм. Пусть [math]n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0[/math]. Тогда:

[math]\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m[/math]

[math]\phi[/math] сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть [math]a^n=a^m,\, n\lt m\lt r[/math], тогда

[math]a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e[/math]. Но [math]r\gt m-n\gt 0[/math], т.е. [math]r[/math] - не минимальная степень [math]a[/math], равная [math]e[/math]. Противоречие. Значит, [math]\phi[/math] - биекция, следовательно, и изоморфизм.
[math]\triangleleft[/math]

p-группы

[math]p[/math]-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа [math]p[/math]. Порядок разных элементов может быть разным.