1
правка
Изменения
Исправление критичного бага
'''Первый проход:
'''Второй проход:
[[Точка сочленения, эквивалентные определения|Точка точка сочленения]] принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности.Вершина <tex> v \ne root </tex> является точкой сочленения, если у нее есть сын <tex> u : </tex>, такой что <tex> up[u] \geqslant tin[v] </tex>. <br> Это также значит, что ребро <tex> vu </tex> содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину <tex> v </tex> , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности. <br>
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.<br>
=== Псевдокод второго прохода ===
* Во время первого запуска <tex>dfs</tex> будут заполняться массивы <tex>tin</tex> и <tex>up</tex>, поэтому при запуске функции <tex>paint</tex> мы считаем, что они уже посчитаны.* <tex>\mathtt{| width = 100%maxColor}</tex> изначально равен <tex>0</tex>, что эквивалентно тому, что никакое ребро не окрашено.* <tex>\mathtt{color}</tex> хранит в себе цвет, компоненты, из которой вызвалась функция <tex>\mathrm{paint}</tex> для текущей вершины.|* <tex>\mathtt{parent}</tex> {{---}} это вершина, из которой мы попали в текущую.| '''function''' paint(<tex>dfsv</tex>(, color, parent): visited[<tex>v</tex>, color, parent):] = '''true''' '''for''' <tex> u : (v, u) \in E</tex>:
'''if''' <tex>u</tex> == parent
'''continue'''
'''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
'''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
newColor = maxColor++maxColor
col[<tex>vu</tex>] = newColor
'''else'''
col[<tex>vu</tex>] = color
col[<tex>vu</tex>] = color
'''function''' solve(): '''for''' <tex> v \in V</tex>: dfs(<tex>v</tex>) '''for''' <tex> v \in V</tex>: '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>] dfs maxColor++ paint(<tex>v</tex>, -1maxColor, -1)|}
Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
== Однопроходный алгоритм ==
Заведем [[Стек|стек]], в который будем записывать все дуги в порядке их обработки. Если обнаружена точка сочленения, дуги очередного блока окажутся в этом стеке, начиная с дуги дерева обхода, которая привела в этот блок, до верхушки стека. <br>
Таким образом, каждый раз находя компоненту вершинной двусвязности мы сможем покрасить все ребра, содержащиеся в ней, в новый цвет.
=== Доказательство корректности алгоритма ===
Значит все дуги <tex> V' </tex> будут будут добавлены в стек после дуги ведущей из точки сочленения в блок. В стеке в момент обнаружения точки сочленения будут находиться только дуги блока, связанного с ней, т.к. блоки найденные до него (если таковые имеются) будет уже извлечены из стека и покрашены в свой цвет.<br>
=== Псевдокод ===
'''function''' paint(<tex>dfsv</tex>(, parent): visited[<tex>v</tex>, parent):] = '''true'''
tin[<tex>v</tex>] = up[<tex>v</tex>] = time++
'''for''' <tex> u : (v, u) \in E</tex>:
'''if''' <tex>u</tex> == parent
'''continue'''
'''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
stack.push(<tex>vu</tex>)
'''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
color = maxColor++
colors[stack.top()] = color
stack.pop()
colors[<tex>vu</tex>] = color
stack.pop()
'''if''' up[<tex>u</tex>] < up[<tex>v</tex>]
'''else''' '''if''' tin[<tex>u</tex>] < tin[<tex>v</tex>]
stack.push(<tex>vu</tex>)
'''if''' tin[<tex>u</tex>] < up[<tex>v</tex>]
up[<tex>v</tex>] = tin[<tex>u</tex>]
'''else''' '''if''' up[<tex>v</tex>] > tin[<tex>u</tex>]
up[<tex>v</tex>] = up[<tex>u</tex>]
'''function''' solve(): '''for''' <tex> v \in V</tex>: dfs(<tex>v</tex>) '''for''' <tex> v \in V</tex>: '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]: time = 0 dfs maxColor++ paint(<tex>v</tex>, -1)<br>
Во время алгоритма совершается один проход <tex>dfs</tex>, который работает за <tex>O(|V| + |E|)</tex>. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет <tex>O(|E|)</tex> операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|) + O(|E|) = O(|V| + |E|)</tex>
== См. также ==
* [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]]
* [[Построение компонент реберной двусвязности]]
== Источники информации ==
* В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005 Дискретная математика: Алгоритмы {{---}} Компоненты двусвязности, мосты и точки сочленения]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обход в глубину]]
