Построение компонент рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Двупроходный алгоритм)
(не показана 21 промежуточная версия 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Основные понятия ==
 
 
*[[Отношение реберной двусвязности#Реберная двусвязность|Реберная двусвязность]]
 
*[[Отношение реберной двусвязности#Компоненты реберной двусвязности|Компонента реберной двусвязности]]
 
 
 
Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].
 
Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].
  
 
== Двупроходный алгоритм ==
 
== Двупроходный алгоритм ==
  
Первый способ найти искомые компоненты - сначала определить критерий перехода в новую компоненту реберной двусвязности, а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.
+
Первый способ найти искомые компоненты {{---}} сначала определить критерий перехода в новую [[Отношение реберной двусвязности#Компоненты реберной двусвязности|компоненту реберной двусвязности]], а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.
 +
 
 +
Определим критерий перехода к новой компоненте.
 +
Воспользуемся ранее доказанной [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммой]]. Получается {{---}} перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.
  
Первый проход определяет для каждой вершины <tex>v</tex> две величины: <tex>enter(v)</tex> - время входа поиска в глубину в вершину и [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Функция | ret(v)]]
+
'''Первый проход:''' запустим [[Использование обхода в глубину для поиска мостов|алгоритм для поиска мостов]], чтобы посчитать две величины: <tex>tin(v)</tex> и <tex>up(v)</tex>.
  
Определим критерий перехода к новой компоненте.
+
'''Второй проход:''' окрашиваем вершины, т.е. если перешли по мосту, то оказались в новой компоненте реберной двусвязности.
Воспользуемся ранее доказанной [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммой]].
 
  
Основываясь на этом, определим алгоритм окраски вершин графа: перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.  
+
=== Псевдокод второго прохода ===
 +
* В переменной <tex>\mathtt{color}</tex> хранится цвет текущей компоненты.
 +
* <tex>\mathtt{maxColor}</tex> изначально равен <tex>0</tex>, что эквивалентно тому, что никакая компонента не окрашена.
  
Псевдокод второго прохода:
+
'''function''' paint(<tex>v</tex>, color):
 +
  colors[<tex>v</tex>] = color
 +
  '''for''' <tex>(u, v) \in E</tex>:
 +
    '''if''' colors[<tex>u</tex>] == 0:
 +
      '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>]:
 +
        maxColor++
 +
        paint(<tex>u</tex>, maxColor)
 +
      '''else''':
 +
        paint(<tex>u</tex>, color)
  
  '''paint(<tex>v</tex>, цвет)''':
+
'''function''' solve():
    <tex>colors(v)\leftarrow</tex> цвет
+
  '''for''' <tex>v \in V</tex> :
    для всех вершин <tex>u</tex>, смежных <tex>v</tex>:
+
    colors[<tex>v</tex>] = 0
      если <tex>u</tex> не покрашена:
+
    '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
        если <tex>ret(u) = enter(u)</tex>:
+
      dfs(<tex>v</tex>)
          увеличиваем максимальный цвет
+
  maxColor = 0
          <tex>paint(u</tex>, максимальный цвет)
+
  '''for''' <tex>v \in V</tex> :
        иначе:
+
    '''if''' colors[<tex>v</tex>] == 0:
          <tex>paint(u</tex>, цвет)
+
      maxColor++
  ...
+
      paint(<tex>v</tex>, maxColor)
  обнуляем массив <tex>colors</tex>
 
  максимальный цвет <tex>\leftarrow</tex> 0
 
  для всех вершин <tex>v</tex> графа:
 
    если <tex>colors(v)</tex> = 0:
 
      увеличиваем максимальный цвет
 
      <tex>paint(v</tex>, максимальный цвет)'''
 
  
 
Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 
Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
  
Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть 2 * <tex> O(|V| + |E|)</tex>, что есть  <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
+
Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть  <tex>2 \cdot O(|V| + |E|)</tex>, что есть  <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
  
 
== Однопроходный алгоритм ==
 
== Однопроходный алгоритм ==
  
  
Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный стек, и при спуске по дереву <tex> dfs </tex> добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммы]]). Если это так, то то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте, эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.
+
Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный [[Стек|стек]], и при спуске по дереву <tex> dfs </tex> добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммы]]). Если это так, то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте.Заметим, что эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.
  
Псевдокод:
+
=== Псевдокод ===
  
  '''paint(<tex>v</tex>)''':
+
'''function''' paint(<tex>v</tex>):
    <tex>maxcolor</tex>++
+
  maxColor++
      '''while''' (пока вершина стека не вершина <tex>v</tex> и стек не пустой)
+
  last = -1
        извлекаем вершину стека и красим её
+
  '''while''' last != <tex>v</tex> '''and''' '''not''' stack.empty()
+
    colors[stack.top()] = maxColor
 
+
    last = stack.top()
 +
    stack.pop()
  
  '''dfs'''(<tex> v </tex>)
+
'''function''' dfs(<tex> v </tex>)
   <tex> time \leftarrow time + 1</tex>
+
   time time + 1
   <tex> stack.push(v) </tex>
+
   stack.push(<tex>v</tex>)
   <tex>enter[v] \leftarrow time</tex>
+
   tin[<tex>v</tex>] = time
   <tex>ret[v] \leftarrow time </tex>
+
   up[<tex>v</tex>] = time
   '''for''' всех <tex>u</tex> смежных с <tex>v</tex>
+
   '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
     ''if'' <tex>(v, u)</tex> - обратное ребро
+
     '''if''' <tex>(v, u)</tex> обратное ребро
       <tex>ret[v] \leftarrow min(ret[v], enter[u])</tex>
+
       up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], tin[<tex>u</tex>])
     '''if''' вершина <tex>u</tex> - белая
+
     '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
       '''dfs'''(u)
+
       dfs(<tex>u</tex>)
       <tex> ret[v] \leftarrow min(ret[v], ret[u]) </tex>
+
       up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], up[<tex>u</tex>])
       '''if''' <tex>ret[u] > enter[v]</tex>  
+
       '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>]
         <tex>paint(u)</tex>  
+
         paint(<tex>u</tex>)
+
 
 +
Так же после вызова dfs нужно не забыть в конце вызвать ещё раз paint.
  
 
Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.
 
Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.
Строка 74: Строка 77:
 
Итоговое время работы алгоритма <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
 
Итоговое время работы алгоритма <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
  
== Визуализатор ==
+
== См. также ==
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bridges-2001| Визуализация построение компонент реберной двусзяности]
+
* [[Построение компонент вершинной двусвязности]]
 
+
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]
==Литература==
 
Седжвик Роберт. Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах: Пер. с англ./Роберт Седжвик. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128
 
  
В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
+
== Источники информации ==
 +
* ''Седжвик Р.'' Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах. Пер. с англ. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128
 +
* ''Кузнецов В.А., Караваев. А.М.'' "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bridges-2001| Визуализация {{---}} Построение компонент реберной двусзяности]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]
 
[[Категория: Обход в глубину]]

Версия 04:19, 14 октября 2019

Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью обхода в глубину.

Двупроходный алгоритм

Первый способ найти искомые компоненты — сначала определить критерий перехода в новую компоненту реберной двусвязности, а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.

Определим критерий перехода к новой компоненте. Воспользуемся ранее доказанной леммой. Получается — перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.

Первый проход: запустим алгоритм для поиска мостов, чтобы посчитать две величины: [math]tin(v)[/math] и [math]up(v)[/math].

Второй проход: окрашиваем вершины, т.е. если перешли по мосту, то оказались в новой компоненте реберной двусвязности.

Псевдокод второго прохода

  • В переменной [math]\mathtt{color}[/math] хранится цвет текущей компоненты.
  • [math]\mathtt{maxColor}[/math] изначально равен [math]0[/math], что эквивалентно тому, что никакая компонента не окрашена.
function paint([math]v[/math], color):
  colors[[math]v[/math]] = color
  for [math](u, v) \in E[/math]:
    if colors[[math]u[/math]] == 0:
      if up[[math]u[/math]] > tin[[math]v[/math]]:
        maxColor++
        paint([math]u[/math], maxColor)
      else:
        paint([math]u[/math], color)
function solve():
  for [math]v \in V[/math] :
    colors[[math]v[/math]] = 0
    if not visited[[math]v[/math]]
      dfs([math]v[/math])
  maxColor = 0
  for [math]v \in V[/math] :
    if colors[[math]v[/math]] == 0:
      maxColor++
      paint([math]v[/math], maxColor)

Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.

Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть [math]2 \cdot O(|V| + |E|)[/math], что есть [math] O(|V| + |E|)[/math].

Однопроходный алгоритм

Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный стек, и при спуске по дереву [math] dfs [/math] добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи леммы). Если это так, то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте.Заметим, что эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.

Псевдокод

function paint([math]v[/math]):
  maxColor++
  last = -1
  while last != [math]v[/math] and not stack.empty()
    colors[stack.top()] = maxColor
    last = stack.top()
    stack.pop()
function dfs([math] v [/math])
  time =  time + 1
  stack.push([math]v[/math])
  tin[[math]v[/math]] = time
  up[[math]v[/math]] = time
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math](v, u)[/math] — обратное ребро
      up[[math]v[/math]] = min(up[[math]v[/math]], tin[[math]u[/math]])
    if not visited[[math]u[/math]]
      dfs([math]u[/math])
      up[[math]v[/math]] = min(up[[math]v[/math]], up[[math]u[/math]])
      if up[[math]u[/math]] > tin[[math]v[/math]] 
        paint([math]u[/math]) 

Так же после вызова dfs нужно не забыть в конце вызвать ещё раз paint.

Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.

Время работы dfs [math] O(|V| + |E|)[/math]. Покраска за [math] O(|V|) [/math]. Итоговое время работы алгоритма [math] O(|V| + |E|)[/math].

См. также

Источники информации